关于逻辑上的“对偶”（dual）

Quasimodo_lory

看逻辑等价的时候接触到“对偶”的概念就是一个复合命题中的AND用OR代替，OR用AND代替，每个T用F代替，每个F用T代替。
这样得到的命题叫做原命题的对偶。即 "The dual of a compound proposition"
请问有没有人对这个概念有更深的了解？帮我介绍一下。
或者告诉我相关的文献也好，我似乎找不到比较详细的资料。

smalloc

这确实是个很有意思的问题,但是深入下去应该是研究布尔代数的代数结构.
可能需要看代数学方面的书.

Quasimodo_lory

我查了一些资料，似乎对偶是个很广泛的概念。
在数学的很多方面都有出现，有人说对偶是数学美的表现。
我其实比较想知道在数理逻辑上的意义，还有它在计算机中有什么应用呢？
有哪位高人了解呢？

cjaizss

f1(a1,a2,...an,\/,/\)=f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\)
<=>
f1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)=f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/)
非就用~表示了,本来的符号表示出来是乱码

cjaizss

f1(a1,a2,...an,\/,/\)=f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\)

f1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)=f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/) ...
cjaizss 发表于 2010-03-08 23:03

    我就不证明了,任何一本数理逻辑教材里均有其证明.

Quasimodo_lory

版主大人说的是德摩根律吧
那个=是什么意思？

smalloc

版主对对偶式的表达好象不正确 ...

对偶式表达的是布而代数的运算关系形式上的对称性.
可以用关系的图形表示法来表达.
(0.1)所有2元与的运算恰好和(1,0)所有或的运算在关系上对称.

cjaizss

=就是等于
布尔格这个代数结构的确是比较怪异,2^n阶的布尔格本身除了有n!种自同构外,把+与.两种运算(或者记作\/ /\)互换之后,又是一个同构(注意,这在代数系统中不叫自同构).当然,布尔格的这种性质也起源于格,格本身对于两种符号的对称性定义导致了这一点,一个格两种符号互换之后是另外一个格.

cjaizss

再写两个比较强的定理:
Morgan:
~f(a1,a2,...an,\/,/\)=f(~a1,~a2,...,~an,\/,/\)
以上定理可以直接推导出我之前的定理.
展开
Shannon
f(a1,a2,...an)=(a1/\f(1,a2,...an)\/((~a1)/\f(0,a2,...an))
                    =(a1\/f(0,a2,...an))/\((~a1)\/f(1,a2,...an))

以上定理证明实际都不难

Quasimodo_lory

我对于楼主的表达方式不是很理解
如果f1(a1,a2,...an,\/,/\)是表示一个复合命题，那么
f1(a1,a2,...an,\/,/\)=f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\)
f1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)=f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/) ...
表达的是两个等价的命题f1(a1,a2,...an,\/,/\)=f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\)
其对偶也是等价的1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)=f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/)
是这样的意思吗？
但是对偶是把/\和\/对调，无需对各个子命题an加上～吧。
请问楼主那两个定理你是从哪里看到的呀？谢谢啦