剔除几个数求变异系数

bruceteen

有一组数据，假设已经排序过，为 x1,x2,x3,……xn
有一个公式 y = n * (x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2) / (x1+x2+x3+……+xn)^2，也就是 y = n * 平方和 / 和的平方
现在想在x集合中去掉一个数（n当然也就是小了1），使得 y 尽可能的更趋于1，去掉哪个好呢？
即：
y1 = n * 平方和 / 和的平方
y2 = (n-1) * 余下数的平方和 / 余下数的和的平方
去掉哪个数才使得y2最靠近数值1.0？

我还有两个附属的疑问
1。如果去掉一个数，我猜这个数要么是x集合中的最大的那个数，要么就是最小的那个数。这个猜测对吗？
2。如果要求去掉一个数，计算出最应该去掉的是a；如果要求去掉两个数，则a一定为其中一个。这个猜测对吗？

hbmhalley

回复 12# bruceteen


    眼花了 ..

    y[ab] = 1 + (-(da+db)^2 * n/(n-2) + 2*da*db + sum(di^2)) / ((da+db) - (n-2)*x)^2 / (n-2))
    是这个。本来以为都是 (da+db) 的 ..
    偏导(关于da)出来大概和 -da*N*X - db*N*X - 2*db^2 + 2*db*X + sum 这么个东西同号，所以截面都是单峰的，图像是锥形的，答案是 最小次小；最小最大；最大次大 中的一个

    是否一定包含我就不知道了 .. 等高人

ymonster

n倍平方和 > 和的平方，
你可以将x2...xn看做x1+k1....x1+kn-1，当所有k = 0的时候整个 = 1,

结论就是去掉最大的，而且去掉两个的话----没错，也是去掉最后两个

bruceteen

回复 2# ymonster
不对吧，比如 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的 y值是 1.27273
去掉 10 后的y值是 1.26667
而去掉 1 后的y值是 1.18519
因此去掉 1 比去掉 10 好

bruceteen

比如 1 2 3
原先 y = 3 * (1*1+2*2+3*3) / ((1+2+3)*(1+2+3)) = 1.17
如果去掉 3，则 y = 2 * (1*1+2*2) / ((1+2)*(1+2)) = 1.11
如果去掉 1，则 y = 2 * (2*2+3*3) / ((2+3)*(2+3)) = 1.04
可见去掉 1 的话，可以使得 y 最靠近数值1.0

liuiang

定性分析一下，只是个人理解，不保证正确：

y = n * (x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2) / (x1+x2+x3+……+xn)^2

先做简单变形： 如果y需要趋于1，则可以认为：

(x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2) / (x1+x2+x3+……+xn)^2  -> 1/n

那么我们将上式展开：

(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) / (x1(x1+x2+...+xn) + x2(x1+..xn) +...+xn(x1+...xn))

上式分子分母都可以看做是axb的二次项，其中分子为n项，分母为n^2项。

现在看，如果我们希望整个展开式结论趋向1/n，那么最好的策略就是，让每个二次项的乘积结果趋于一致/平均。

(优先剔除偏离"平均数"较远的值，至于是哪一种平均数，估计得定量分析吧。)

那么，如果x1, x2, ... xn均为正数，那么应该剔除“远离”“平均数”的那个值。

负数貌似更加复杂，等着大拿定量分析吧。

ymonster

bruceteen 发表于 2012-08-16 10:21
比如 1 2 3
原先 y = 3 * (1*1+2*2+3*3) / ((1+2+3)*(1+2+3)) = 1.17
如果去掉 3，则 y = 2 * (1*1+2*2)  ...

呃...是我做运算的时候弄错了...手头木有笔，回去算下试试

hbmhalley

设 x = sum(xi)/n , di = xi-x

y = n * sum(xi^2) / sum(xi)^2
  = n * ((x+d1)^2 + .. + (x+dn)^2) / (n*x)^2
  = n * (n*x^2 + 2*x*sum(di) + sum(di^2)) / (n*x)^2
  = n * (n*x^2 + sum(di^2)) / (n*x)^2
  = 1 + sum(di^2) / (n*x^2)

y[a] = 1 + (sum(di^2) - da^2) / ((n-1) * (x - da/(n-1))^2)
     = 1 + (-da^2 + sum(di^2)) / ((da - (n-1)*x)^2 / (n-1))

ps: da^2 <= sum(di^2) ; da < (n-1)x   

剩下的不细写了，把杂碎去掉，导一下得出 随 da 递增 y[a] 递减，所以离平均值越远越好。LSS猜对了
不对 .. 等等
没事，对了

bruceteen

回复 5# liuiang
回复 7# hbmhalley

三个数：1.12， 2.00， 3.00
平均值为 2.04
离平均值最远的数为 3.00

剔除3.00后，Y = 2 * (1.12*1.12+2.00*2.00) / ((1.12+2.00)*(1.12+2.00)) = 1.0795529257067718606180144641683
剔除1.12后，Y = 2 * (2.00*2.00+3.00*3.00) / ((2.00+3.00)*(2.00+3.00)) = 1.04
说明剔除1.12比剔除3.00好一些

可见，“离平均值越远越好”是不正确的

liuiang

回复 8# bruceteen


    至于是哪一种平均数，估计得定量分析吧!