对miller-rabin反向取数的测试

songls

        对miller-rabin反向取数的测试

对于miller-rabin 的判断是把1个奇数写成d×2^n，其中d为奇数, 进行费马测试 a^d mod p，为1，不为1，再进行二次探测，根据a^n a^(2n) a^(4n)…a^(p-1) mod p看是否为-1，如果为-1，则可能为素数，否则肯定是合数。
能否反过来判断？
对于一个奇数n，a^((n-1)/2) mod n，看是否为为-1，如果为-1，可能是素数，否则肯定不是素数，如果为1，则判断(n-1)/2是否为奇数，如果为奇数，可能是素数，不为1，肯定不是素数，算法如下（n为奇数）：
1 i=(n-1)/2
2 m= a^i mod n
3 if  m =-1  n可能是素数 exit
if   m=1  且 i为奇数  n可能是素数 exit
  if m<> -1 or m<>1 n肯定不是素数 exit
4 i=i//2   重复 1


对于miller_rabin测试方法，  9可以通过测试，用上述测试方法，9不会通过测试，但在10000内以2为底共有5个合数通过测试：2047  3277  4033  4681  8321(详见附录)。
不过这个的算法与miller-rabin哪个速度更快更好，我没有测试过，仅作为对素数测试的一种参考吧，不知道是否正确，望各位批评指正。

以下附上程序（a没有按随机数来取，直接取2）

#include<stdio.h>
/* Montgomery算法，具体可以参考网上，按long型取数 */
long Montgomery(long n, long p, long m)
{ /* 快速计算 (n ^ p) % m 的值 */
    long r = n % m; /* 这里的r可不能省 */
    long k = 1;
    while (p > 1)
    {
        if ((p & 1)!=0)
        {
            k = (k * r) % m; /* 直接取模 */
        }
        r = (r * r) % m; /* 同上  */
        p /= 2;
    }
    return (r * k) % m; /* 还是同上 */
}

main()
{

long u1,u2,u3;
long p1,p2,p3;
long m1 , i , j;
long n,num;

n = 10000 ;  
m1 = 3;   /* 从3开始进行测试 */
    while( m1 <= n )  /* 测试10000以内的奇数 */
    {
        num = 2 ;  /* 以2为底进行测试 */
        u1 = m1 - 1 ;  /* m1为奇数 */
        while( 1 )
       {
          /* 如果是m1-1，除2进行计算 (n-1)/2 */
           if( u1 == m1 -1 )
           {
               u1 = u1/2;
               continue;
           }
           
           /* a^(n-1)/2 mod n */
           p1 = Montgomery( num, u1 , m1 ) ;

           if( p1 != 1 && p1 != m1 - 1 ) /*余数不为1或-1时，肯定不是素数，取下一个数*/
           {
           /*    if( u1 != m1 -1 )
                   printf( ", %ld , %ld \n" , m1 , p1 ) ;*/
               break ;
           }

           if( p1 == m1 -1 )  /* 可能是素数 */
           {
                printf( "%ld\n" , m1 ) ;
                break ;
           }

           if( (u1 % 2) != 0  && p1 == 1 )   /* 可能是素数 */
           {
                printf( "%ld\n" , m1 ) ;
                break ;
           }

           u1 = u1/2 ;   /* n=n/2 */
        }
        m1 = m1 + 2;
    }
}

附录：
以下为按上述程序执行10000以内通过测试的奇数：
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 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2014-02-05 21:46 上传

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