一个谬论的证明--考考各位的逻辑能力

yovn

给出这么一个命题:如果a,b是满足max(a,b)=N的正整数，那么a=b

(如果这个命题成立那么max(5,10)=10 ==>5=10，任意两个正整数都是相等的)

下面用数学归纳法来证明
1)N=1时,如果max(a,b)=1, 显然a=b=1, 成立

2）假设N=r时,如果max(a,b)=r, 则a=b

3)设x,y是满足max(x,y)=r+1的两个正整数
令c=x-1,d=y-1,从而max(c,d)=r,而由2）可知c=d,从而x=y,也就是说如果max(x,y)=r+1，则x=y从而 N=r+1 的时候命题也成立

得证！

liubinbj

命题是：
如果a,b是满足max(a,b)=N的正整数，那么a=b
归纳法第一步
1)N=1时,如果max(a,b)=1, 显然a=b=1, 成立
这里就错了，应该是a=b成立，你强制=1根据是从max函数来的，可你命题里根本没把max的意义考虑进去，现在又要用max的意义来做文章，所以逻辑上有问题。

flw

我倒不这么认为，
我认为，这个证明过程之所以错误，
是出在第三步的这个假设：
c = x-1
d = y-1
这里。

因为 x 和 y 是正整数，并不能保证 c 和 d 也是正整数，因此归纳法失效。

flw

二楼应该没有仔细审题。你重新看一下题目，就知道第一步中 a=b=1 的写法是正确的。

lenovo

我觉得是第三步错了。
〉〉3)设x,y是满足max(x,y)=r+1的两个正整数
要证明的就是max(x,y)在r+1时成立。可它已经假设它成立了。
最后又推出它成立。

flw

原帖由 lenovo 于 2006-7-3 18:38 发表
要证明的就是max(x,y)在r+1时成立。可它已经假设它成立了。
最后又推出它成立。

你说的不对。
max(x,y)=r+1 是前提，不是结论。要证明的是 a=b，而不是 max(x,y)=r+1。

[ 本帖最后由 flw 于 2006-7-3 18:44 编辑 ]

liubinbj

原帖由 flw 于 2006-7-3 18:14 发表
我倒不这么认为，
我认为，这个证明过程之所以错误，
是出在第三步的这个假设：
c = x-1
d = y-1
这里。

因为 x 和 y 是正整数，并不能保证 c 和 d 也是正整数，因此归纳法失效。

x,y都>=2，因为1已经证明了，所以c,d>=1，是正数。

flw

原帖由 liubinbj 于 2006-7-3 18:52 发表


x,y都>=2，因为1已经证明了，所以c,d>=1，是正数。

x,y 都 >=2 ？谁证明的？

liubinbj

给出这么一个命题: 如果1＝2，那么所有的整数相等，即n=m

归纳法证明1＝m：
1）N＝2时，已知1＝2，显然成立
2）假设1=m成立（m>2）
3) 现在证明1＝m+1也成立：

由1＝m推出 2＝m+1 (两边同时＋1)
由1＝2推出1=m+1 (左边替换)

所以1＝m成立

应为1＝m，所以 1＝n，所以n=m成立。
证明完美地完成了！

那么大家说证明错在哪？其实和楼主的是一回事，用错误的命题证明到错误的结果。

hanyh

原帖由 flw 于 2006-7-3 18:59 发表

x,y 都 >=2 ？谁证明的？

就是，1证明了，2没有证明，默认的X-1后面假设设2成立了，故不对