ECC?群?

smalloc

(y^2)mod p =(x^2+ax+b)mod p.
如何证明在mod p下也是个群?

smalloc

原帖由 win_hate 于 2009-6-9 17:15 发表


我上面说的 n 是群的阶，你说的 "不同点有不同 n" 指的是元素的阶。

>>貌似不同的点有不同的n,有没有特定的一个点,他的阶就是所有n的最有公倍数?

有可能有，也有可能没有。没有的例子如二面体群 D3  ...

关于这个,拉格朗日定理确实美妙..

对于一个有限域的EC如何得到一个循环群的阶?

[ 本帖最后由 smalloc 于 2009-6-12 09:27 编辑 ]

win_hate

原帖由 smalloc 于 2009-6-8 12:46 发表
还是觉得这玩意比较怪异,有限群似乎比无限群更有趣.
按这中说法:
>>如果是 2， 则是群的 Lagrange 定理的一个推论。因为 G 生成一个循环子群，根据 Lagrange 定理，n 是 G 的阶的一个倍数。
貌似不同的点有不同的n,有没有特定的一个点,他的阶就是所有n的最有公倍数?

我上面说的 n 是群的阶，你说的 "不同点有不同 n" 指的是元素的阶。

>>貌似不同的点有不同的n,有没有特定的一个点,他的阶就是所有n的最有公倍数?

有可能有，也有可能没有。没有的例子如二面体群 D3 有 6 个元，其中 1 个 1 阶，2 个 3 阶， 3 个 2 阶，没有 6 阶元。
有的例子很多。

smalloc

原帖由 flyingtimeice 于 2009-6-8 15:22 发表

刚找了本代数的基础书在看,上班的时候看这个,感觉挺罪恶的.

flyingtimeice

smalloc

还是觉得这玩意比较怪异,有限群似乎比无限群更有趣.
按这中说法:
>>如果是 2， 则是群的 Lagrange 定理的一个推论。因为 G 生成一个循环子群，根据 Lagrange 定理，n 是 G 的阶的一个倍数。
貌似不同的点有不同的n,有没有特定的一个点,他的阶就是所有n的最有公倍数?

win_hate

>>这个东西是怎么想出来的?把实数域的换成有限域的.
实数域和有限域都是域，它们有共性。有限域有很多良好的性质，往这个方向推广是自然的。


>>任选选一个点G,因为符合群运算且群元素个数有限所以一定存在n,使得nG=0,是这样吧.

可以考虑序列 G, 2G, 3G, .....,  由于只有有限个元素，所以一定有某两个数 x<y 使得  xG=yG => (y-x)G=0

>>对于p1+P2!=P3+P4:
>>我问错了 ,我想问,对于p1,p2,p3互不相等,如何能相信,p1+p2!=p1+p3.
>>在实域上可以证明不等,那么在有限域上呢?

p2 和 p3 不等就足够了，要求 p1 也不等是多余的。
只要是在群中，你说的这个性质就是成立的，这个性质称为左消去律。

若 p1+p2 = p1 + p3，只要从等式两边左加上 p1 的逆元就可以得到 p2=p3，从而与  p2, p3 不等矛盾。

设 p1 = (x,y)，则 (x,-y)+(x,y)=0，所以

p1+p2=p1+p3 => (x,y)+p2=(x,y)+p3 =>  (x,-y)+(x,y)+p2=(x,-y)+(x,y)+p3 => p2=p3

smalloc

原帖由 win_hate 于 2009-6-7 08:55 发表



>>不好意思,因为完整的提问太麻烦了,可能会显得罗嗦.
>>在实数域定义的椭圆曲线,点(x,y)能组成一个群,定义的群运算我就不再抄了,太多了,我想如果了解的人应该能知道,或者能翻阅到.
>>但是把定义域缩小为 ...

佩服一个,我的数学基础太弱了.
这个东西是怎么想出来的?把实数域的换成有限域的.

任选选一个点G,因为符合群运算且群元素个数有限所以一定存在n,使得nG=0,是这样吧.
对于p1+P2!=P3+P4:
我问错了 ,我想问,对于p1,p2,p3互不相等,如何能相信,p1+p2!=p1+p3.
在实域上可以证明不等,那么在有限域上呢?

daybreakcx

我也以为有人开了QQ群…………

win_hate

这个地方再说一下：

>>还有个最重要的,在曲线上选一个点G,就存在nG=0


我不清楚你说的是哪种情形：

1、对随便一个点，一定存在一个 n
2、n 是固定的，就是群的大小

如果是 1， 就参考楼上
如果是 2， 则是群的 Lagrange 定理的一个推论。因为 G 生成一个循环子群，根据 Lagrange 定理，n 是 G 的阶的一个倍数。