有编号为A、B、C、B、D五张卡片，求其所有排列组合，并打印

幻の上帝

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我理解你的意思。没有被抽象的实际问题，不是数学问题。
但是，这无法得出你6L的观点。你至少还需要无条件认为你得到这个命题的过程中利用的数学基础理论正确——或者说，符合你的信仰——这事实上就有效地回避了这样“古怪”的问题。
自然语言——至少母语——很可靠，而且应该比数学可靠。如果能任意质疑自然语言的可用性，那么所有我说过的都是废话了。但是，这不等于我需要认同自然语言无限地可靠。一个简单显然的事实是，我无法确保我说过的任何东西都不被误解。
在某些极端情况下，数学的类似可靠性会遇到一些挑战，例如历史上的数学危机。解决方法通常是把原来不被认为“正确”的理论视为正确的并置换原有的与之矛盾的理论，同时扩大研究范围。这种方法能一直奏效吗？
是不是存在一种数学，能证明1+1=3是合法有效的，而1+1=2则否？
或许因为现实经验的倾向性，这个问题不太显然。那么我再换个例子。为什么分析学使用潜无穷？是因为极限理论看上去比非标准分析的那套更“正确”吗？

cjaizss

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我理解你的意思。没有被抽象的实际问题，不是数学问题。
但是，这无法 ...
幻の上帝 发表于 2011-12-12 08:33

    回复 19# cjaizss
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我理解你的意思。没有被抽象的实际问题，不是数学问题。
但是，这无法得出你6L的观点。你至少还需要无条件认为你得到这个命题的过程中利用的数学基础理论正确——或者说，符合你的信仰——这事实上就有效地回避了这样“古怪”的问题。
自然语言——至少母语——很可靠，而且应该比数学可靠。如果能任意质疑自然语言的可用性，那么所有我说过的都是废话了。但是，这不等于我需要认同自然语言无限地可靠。一个简单显然的事实是，我无法确保我说过的任何东西都不被误解。
在某些极端情况下，数学的类似可靠性会遇到一些挑战，例如历史上的数学危机。解决方法通常是把原来不被认为“正确”的理论视为正确的并置换原有的与之矛盾的理论，同时扩大研究范围。这种方法能一直奏效吗？
是不是存在一种数学，能证明1+1=3是合法有效的，而1+1=2则否？
或许因为现实经验的倾向性，这个问题不太显然。那么我再换个例子。为什么分析学使用潜无穷？是因为极限理论看上去比非标准分析的那套更“正确”吗？

首先,这不是一个对数学的信仰问题.我猜想你可能不是学数学的,所以不是很理解.对于数学来说,不是谁说可靠就可靠了,那么沿用这样的思维的话,你凭什么就说母语可靠了呢?凭什么大家都是人,我说汉语可靠,他觉得英语可靠呢?都是说汉语的中国人,他觉得上海话可靠,我觉得四川话可靠?这就是怪事.
"是不是存在一种数学，能证明1+1=3是合法有效的，而1+1=2则否？"这个太可以了.数学是为了把人们从感性提升到理性,为什么觉得四川话可靠或者上海话可靠,因为我们从出生就接触,太有经验了,这是经验,不是理性.
数学危机的解决不是像你说的那样,而是在数学危机的过程中,人们才慢慢明白什么叫数学,在很长的数学研究时间范围内,大家并不明白什么叫数学.
为什么用潜无穷或者实无穷,因为它们都是自恰的,潜无穷有潜无穷的那套自恰,实无穷有实无穷的那套自恰,不同的形式系统而已.只是潜无穷的这套我们用的不亦乐乎罢了,无他.

starwing83

所有数学上所定义的问题和算法概念都是可以完全一致的影射在图论上
cjaizss 发表于 2011-12-10 13:08

    所有数学上所定义的问题和算法概念也可以完全一致地映射到集合论上面吧？对于一个集合，集合元素可以表达为图中节点的出度吧？所以集合论和图论等价吧？而集合论是数学的基石吧？所以……

问题是，能映射上去，和用它去解决比较方便快捷优雅，是两个概念= =

NightCrawler

回复 18# freearth
哈, 顶一下Scheme的实现方案

cjaizss

所有数学上所定义的问题和算法概念也可以完全一致地映射到集合论上面吧？对于一个集合，集合元素 ...
starwing83 发表于 2011-12-12 09:30

    当然可以,但如果你要证明算法的合理性或者算法的最优性,还是用纯的数学语言比较方便.不是说自然语言不能解数学题目,而是不方便.

starwing83

闲的无聊：Lua版（注意用了两种不同的方法书写，一种是table数据结构，一种是用的不定长参数vararg）：

1. print "table version"
   
2. function perm(t, lvl)
   
3.     if #t == lvl then
   
4.         return print(table.concat(t, ", "))
   
5.     end
   
6.     lvl = lvl or 1
   
7.     for i = lvl, #t do local v = t[i]
   
8.         table.insert(t, lvl, table.remove(t, i))
   
9.         perm(t, lvl+1)
   
10.         table.insert(t, i, table.remove(t, lvl))
    
11.     end
    
12. end
    
13. perm {'A', 'B', 'C', 'D', 'E'}
    
14. 
    
15. print "vararg version"
    
16. local vararg = require 'vararg'
    
17. local function nperm(n, ...)
    
18.     local argn = select('#', ...)
    
19.     if n == argn then
    
20.         return print(...)
    
21.     end
    
22.     for i = n, argn do
    
23.         local v = select(i, ...)
    
24.         nperm(n+1, vararg.insert(v, n, vararg.remove(i, ...)))
    
25.     end
    
26. end
    
27. function perm(...) return nperm(1, ...) end
    
28. perm('A', 'B', 'C', 'D', 'E')
    

复制代码

ecjtubaowp

大家对数学还是挺有兴趣的，呵呵。

对于这个帖子的问题，看stl源码剖析还是非常有用。

幻の上帝

回复 22# cjaizss

自洽在这里是可靠的必要非充分条件。这里的可靠首先是指对于个体的理解的可靠性。
例如我说现代数学对我来说是可靠的，意思是我认为我可以了解它是什么，我找不出它的矛盾，并愿意以它为基础来解决其它一切可能需要形式化抽象的问题。只不过这和几乎所有其他人（得排除个别偏执狂民科）的意见一致所以好像理所当然而已。但不表示，对于数学的任何部分，所有人一知道它都会认为它是他认同的“正确可靠的数学”的一部分。
数学的确是理性的，但并不说明认识无法影响它的范畴。而你一直假定的超验的、明确的共识的存在（且最终一定能被找到？），并试图以此为据来简单地确定“什么是数学”。你所说的数学似乎包含两个部分：1、能被多数人普遍接受而公认的一种理论体系；2、在此基础上可以通过重复地使用其中的方法推理得到的结果的总称。我要说的数学还包括人可能永远也想象不到也表达不出来是什么东西的一些问题。在这些你不认为是数学的问题中，我判定它们是不是应该在数学范畴中的依据很简单：1、已经存在抽象的结果，不再需要普适的形式化的抽象（具体科学或技术问题）；2、存在明显依赖于主观认识的或其它可以明确认为无法被纯粹理性的方法抽象的性质（例如这里经验与理性的问题）。
我举数学危机的例子来强调认识不一致现象的存在性和影响的显著性：越来越多的人发现当前的数学不适合解决问题，反而在自身的结构上制造麻烦。结果是迫使人们找到了使整个理论体系稳定的新的共识，也就是你说的，“慢慢明白什么叫数学”。造成这种现象的原因以及改变这种现象的过程（“只是潜无穷的这套我们用的不亦乐乎罢了”）并非是完全理性的，多少有些直觉、习惯、无意识的偶然因素之类理性以外的成分，因此判定哪个“可靠”就算不上完全是数学问题了。

>>首先,这不是一个对数学的信仰问题.我猜想你可能不是学数学的,所以不是很理解.对于数学来说,不是谁说可靠就可靠了,那么沿用这样的思维的话,你凭什么就说母语可靠了呢?凭什么大家都是人,我说汉语可靠,他觉得英语可靠呢?都是说汉语的中国人,他觉得上海话可靠,我觉得四川话可靠?这就是怪事.

关于语言，我也说了，总有一部分不得不同义反复（以词语义项为单位也可以看作循环解释）的东西，于是可靠性的检验及其本身最终不可能排除经验而完全依赖于理性。所以，觉得哪种语言更可靠取决于实现语言的个体，这并没有什么可以奇怪的。另外，即使不考虑通过自然语言学习数学的问题，关于数学的这种可靠性还是有问题的。至少我无法想象在一个人的逻辑思维能力是完全先天的，或在后天形成的过程中完全不受经验的影响。

>>"是不是存在一种数学，能证明1+1=3是合法有效的，而1+1=2则否？"这个太可以了.数学是为了把人们从感性提升到理性,为什么觉得四川话可靠或者上海话可靠,因为我们从出生就接触,太有经验了,这是经验,不是理性.

这个是不算很难。不过如果再加个看似合理的条件：要求有和现有的理论（比如说自然数）某种等价的性质（以便能够替代），如何？
“从感性提升到理性”恰恰不是数学的任务，辨析感性和理性的关系是哲学的内容。在这个角度上，数学是对纯粹理性的一种表达形式，仅此而已。

幻の上帝

回复 23# starwing83


我本来也有类似想法……不过除了结果，映射操作本身的步骤是否简单能不影响到优雅呢……= =
不过图论等价于集合论……嘛……？

cjaizss

表达不出,意思就无法形式化,那么就还没到数学的范畴,尽管用了再多的数学工具去探索,那也还是没进入数学范畴.只可以算哲学范畴.数学必须可以形式化.
数学的思维和数学是不一样的.数学建模并非数学,数学就是那么抽象,它并非具备现实的意义.在初等数论里,1,2,3...其实本是非常抽象的符号,来区别彼此的不同,然后满足一套运算封闭为一个代数系统.只是现实中可以用之代表数量.
数学的每个形式系统之所以生存,是因为每个形式系统下有其独立的语言,除了语言,数学没有其他的东西,所谓语言就是一堆字串的集合.又因推导性,又有其独立的语法.语法说白了,又是一种特殊的集合.