给大家出道题

yovn

一小球(质量不计)从一4分之一光滑球面(半径1米)滑下,初始速度为0,如附图,问小球经需多长时间滑过该球面.

[ 本帖最后由 yovn 于 2006-2-8 10:53 编辑 ]

yovn

就是理想的状态,摩擦不计,小球半径不计,初始速度小到忽略不计,滑过该球面时间就是与该球面接触的时间总和

[ 本帖最后由 yovn 于 2006-2-8 11:30 编辑 ]

yovn

原帖由 ArXoR 于 2006-2-8 11:27 发表
就是一个初值问题,微分方程比较麻烦,好久没碰了
但是初速收敛为0的话,时间点解似乎会趋向无穷大

嗯,有道理,假设初始速度为0.01m/s

yovn

原帖由 soul_of_moon 于 2006-2-8 11:39 发表
感觉45度时，球应该脱离球面。用微积分可以算，很烦！
敢问LZ是大学生么?

呵呵,,不是大学生,,毕业快2年了,初速度为0的话在72.895度会飞离球面.

yovn

原帖由 soul_of_moon 于 2006-2-8 11:49 发表

72.895度这是怎么算出来的？

在某一点如果重力沿垂直球面方向的分力只够提供向心力(MV^2/R=MGcosX),球就飞离了.

yovn

原帖由 cjaizss 于 2006-2-8 12:54 发表
我记得这是我们当初学理论力学的时候的考题
用能量守衡来做，微积分为工具

呵呵,,巧合,,这道题是我自己觉得有趣想去的,当时学微积分但是没能积出来,但是用计算机程序却能大致算出来.

yovn

原帖由 soul_of_moon 于 2006-2-8 12:29 发表
45度是这么出来的：球在不脱离球面前，速度是沿球面切线方向的，当求到45度时，水平和垂直方向的分速度是相等的，去接下来一段微小的球面，它的水平分距离要小于垂直分距离，而水平速度=垂直速度，故而脱离

前面算错了一点,角度应该是:
你说的垂直速度是没有的,沿球面垂直方向一直(知道脱离)没有速度.
而我说的72度是小球与大球球心连线与垂直方向的夹角,设该夹角为x,
1)1/2*m*v^2=mgr(1-cosx)==>v^2=2gr-2grcosx
又支持力为0的时候:
2)mgcosx=mv^2/r
联合1),2)
cosx=2/3
x为48.18968510422141度.也就是ArXoR兄的90-48.18968510422141=41.81031489577859度,在45度前已经脱离.

[ 本帖最后由 yovn 于 2006-2-8 13:22 编辑 ]

yovn

考虑积分的思路:
1.s/v=t==>1/v*s=t,得出1/v关于s的函数1/v=f(s).
2.从而s/v=f(s)*s.这样就转化为对s积分的问题$f(s)ds...这里$表示积分符号.
3,很显然积分的下限从0开始,又根据cosx=2/3求出积分的下限.
4,根据积分定义列出算法,最后求解!!

yovn

呵呵,我能算出的最准确的是1.1877s(初速度为0.01m/s)

yovn

类似我算钟摆周期(5度夹角,摆长1m)算出周期为近似为:2.007913609806324
而用钟摆定理算出结果为2.007089923154493.
以上取g=9.8