一道关于蜗牛爬绳子的题目。

sanbiangongzi

截至第一天白天完蜗牛走了全程的 1/1000，到了晚上绳子‘均匀’拉长到2000但是对蜗牛的行程比没有影响，是2/2000也仍然是1/1000。由此推理，从行程比例角度看来拉长绳子并不能改变行程比例一直在增长的趋势，所以蜗牛是可以到达绳子的另一端的。

那么假设在第k（k=1，2，3，....）天
行程比例为F(k)，那么F(k) = POS / ((k+1)*1000)，其中POS是绳子第k天晚上绳子拉长以后蜗牛距离开始端的距离（这个距离是多少不重要，后面会消掉它），((k+1)*1000)是第k天晚上绳子拉长以后绳子的总长度。

那么在低k+1天白天结束时，行程比例F(k+1)为:
F(k+1) = (POS+1) / ((k+1)*1000) = F(k) + 1/((k+1)*1000)

到结束的那一天，F(n) = 1

而

F(1) = 2/2000 = 1/1000
F(2) = F(1) + 1/((2)*1000)

F(n-1) = F(n-2) + 1/((n-1)*1000)
F(n) = F(n-1) + 1/((n)*1000)


所以F(n) = 1/1000 + 1/2000 + ...+ 1/((n-1)*1000) + 1/(n*1000)


解方程1  = 1/1000 + 1/2000 + ...+ 1/((n-1)*1000) + 1/(n*1000)
即可



一家之言，请诸位指教错误之处

sanbiangongzi

多想一下，绳子是‘均匀’拉长，拉长的过程中，蜗牛前后的距离都变长了！
关键在于走过的路程所占全程的比例在拉长过程中不变的，所以每个白天走动
都在不断增大走过的路程占全程的比例

sanbiangongzi

原帖由 金刚钻 于 2007-10-6 13:40 发表
17楼的方程没有解，那也就是爬不到了

如何无解？
1/1000 ,1/2000 ,1/((n-1)*1000) , 1/(n*1000)
是一个不收敛的数列，其和并无极限

sanbiangongzi

如果继续分析下去就会发现，在没有到达绳子中心之前，
蜗牛距离绳子中心的距离是一个先增长然后慢慢减少的趋
势，仅以前三个个例即得出如此结论。岂不草率？