一道关于蜗牛爬绳子的题目。

七弦琴

记第n个白天时绳子的长度为x(n)，则易见x(1) = 1000, x(2) = 2000, ..., x(n) = n*1000;
记第n个白天结束而晚上未开始前蜗牛距绳子顶端为y(n),  易见 y(1) = 999,  n >= 2时，有第归公式
                                   y(n) = y(n-1) *  x(n) / x(n-1) -1 = y(n-1)*n/(n-1) - 1
记 z(n) = y(n)/n，由上式可得：
                                   z(n) = z(n-1) - 1/n
迭加求第归数列通项得：
                                  z(n) = z(1) - (1/2+ 1/3 + ... + 1/n) = 1000 - (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)
注意到无穷级数1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n是发散的：

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + (1/9 + 1/10 + ... + 1/16) + ... + (1/(2^n +1) + 1/(2^n+2) +... + 1/2^(n+1)) + ...  
> 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ...
＝1 + (n+1)/2

至少当n =　2^1998时， z(n) < 1000 - (1 + 1998/2) = 0　此时亦有y(n) < 0


结论是：蜗牛在2^1998天前一定可以爬到顶端。
不过世界末日会比那来的要早的多．．．　

刚看到前面貌似已经有结果了

[ 本帖最后由 七弦琴 于 2007-10-8 13:19 编辑 ]