Delaunay三角剖分算法简述

朱熹之

Delaunay三角剖分具有下列性质：
（1）Delaunay三角剖分所形成的三角形中，最小的内角是所有三角剖分中最大的。故Delaunay三角剖分所形成的三角形最接近于等边三角形，在很多应用中具有最优的性质。此性质等价于Delaunay三角剖分所形成的三角形的外接圆内不包含其他点。
（2）如果任意四点不共圆，则该四点只能形成唯一的Delaunay三角，否则不唯一。故可推知，对Delaunay三角剖分的局部确保可以保证使整体确保满足Delaunay三角剖分。
（3）在已Delaunay三角化的网格中加入一点P，只需要删除所有外接圆包含此点的三角形，并连接P与所有可见的点（即连接后不会与其他边相交），则形成的网格仍然满足Delaunay三角剖分的条件。

1、增量算法
该算法基于性质（3），算法简单，时间复杂度为O(nlogn)，


使用广泛，基本步骤如下：
（1）生成一个包含所有点的大三角形（其定点不在点集中）；
（2）对点集中的每个点，根据性质（3）进行处理（不删除大三角形的边）；
（3）删除所有与大三角形相关的边。
该算法的时间主要用于对外接圆的搜索和对顶点的连接。其中，前者可以使用指南针算法进行优化；后者可以对点集进行排序，使加入网格的点均匀分布来降低复杂度。
2、局部变换法
该算法基于性质（2），首先构造一个不满足Delaunay三角剖分条件的三角网格，再对两个共边三角形构成的凸四边形迭代换边使之满足Delaunay三角剖分的条件（主要是交换对角线的方法）。


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