查找

Arthursky

查找的基本概念
1、查找表和查找
    　一般，假定被查找的对象是由一组结点组成的表(Table)或文件，而每个结点则由若干个数据项组成。并假设每个结点都有一个能惟一标识该结点的关键字。
    　查找(Searching)的定义是：给定一个值K，在含有n个结点的表中找出关键字等于给定值K的结点。若找到，则查找成功，返回该结点的信息或该结点在表中的位置；否则查找失败，返回相关的指示信息。

2、查找表的数据结构表示
（1）动态查找表和静态查找表
    　若在查找的同时对表做修改操作(如插入和删除)，则相应的表称之为动态查找表。否则称之为静态查找表。

（2）内查找和外查找
    　和排序类似，查找也有内查找和外查找之分。若整个查找过程都在内存进行，则称之为内查找；反之，若查找过程中需要访问外存，则称之为外查找。

3、平均查找长度ASL
    　查找运算的主要操作是关键字的比较，所以通常把查找过程中对关键字需要执行的 平均比较次数(也称为平均查找长度)作为衡量一个查找算法效率优劣的标准。
    平均查找长度 ASL(Average Search Length)定义为：
        


  其中：
    　①n是结点的个数；
   　 ②Pi是查找第i个结点的概率。若不特别声明，认为每个结点的查找概率相等，即
           pl=p2…=pn=1/n
   　 ③ci是找到第i个结点所需进行的比较次数。
  注意：
   　 为了简单起见，假定表中关键字的类型为整数：
        typedef int KeyType； //KeyType应由用户定义

顺序查找(Sequential Search)
    　在表的组织方式中，线性表是最简单的一种。顺序查找是一种最简单的查找方法。

1、顺序查找的基本思想
    　基本思想是：从表的一端开始，顺序扫描线性表，依次将扫描到的结点关键宇和给定值K相比较。若当前扫描到的结点关键字与K相等，则查找成功；若扫描结束后，仍未找到关键字等于K的结点，则查找失败。
2、顺序查找的存储结构要求
　　顺序查找方法既适用于线性表的顺序存储结构，也适用于线性表的链式存储结构（使用单链表作存储结构时，扫描必须从第一个结点开始）。

3、基于顺序结构的顺序查找算法
（1）类型说明
  typedef struct{
    KeyType key；
    InfoType otherinfo； //此类型依赖于应用
   }NodeType；
  typedef NodeType SeqList[n+1]； //0号单元用作哨兵
（2）具体算法
  int SeqSearch(Seqlist R，KeyType K)
    { //在顺序表R[1..n]中顺序查找关键字为K的结点，
      //成功时返回找到的结点位置，失败时返回0
      int i；
      R[0].key=K； //设置哨兵
      for(i=n；R.key!=K;i--)； //从表后往前找
      return i； //若i为0，表示查找失败，否则R是要找的结点
    } //SeqSearch
  注意：
    　监视哨设在高端的顺序查找【参见练习】
二分查找
1、二分查找(Binary Search)
    　二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。
    　二分查找要求：线性表是有序表，即表中结点按关键字有序，并且要用向量作为表的存储结构。不妨设有序表是递增有序的。
2、二分查找的基本思想
    　二分查找的基本思想是：（设R[low..high]是当前的查找区间）
（1）首先确定该区间的中点位置：
               


（2）然后将待查的K值与R[mid].key比较：若相等，则查找成功并返回此位置，否则须确定新的查找区间，继续二分查找，具体方法如下：
   　 ①若R[mid].key>K，则由表的有序性可知R[mid..n].keys均大于K，因此若表中存在关键字等于K的结点，则该结点必定是在位置mid左边的子表R[1..mid-1]中，故新的查找区间是左子表R[1..mid-1]。
    　②类似地，若R[mid].keyK)
             high=mid-1; //继续在R[low..mid-1]中查找
          else
             low=mid+1； //继续在R[mid+1..high]中查找
         }
        return 0； //当low>high时表示查找区间为空，查找失败
       } //BinSeareh
  二分查找算法亦很容易给出其递归程序【参见练习】
分块查找
    　分块查找(Blocking Search)又称索引顺序查找。它是一种性能介于顺序查找和二分查找之间的查找方法。

1、 二分查找表存储结构
    　二分查找表由"分块有序"的线性表和索引表组成。
（1）"分块有序"的线性表
    　表R[1..n]均分为b块，前b-1块中结点个数为

，第b块的结点数小于等于s；每一块中的关键字不一定有序，但前一块中的最大关键字必须小于后一块中的最小关键字，即表是"分块有序"的。
（2）索引表
    　抽取各块中的最大关键字及其起始位置构成一个索引表ID[l..b]，即：
ID(1≤i≤b)中存放第i块的最大关键字及该块在表R中的起始位置。由于表R是分块有序的，所以索引表是一个递增有序表。
　　【例】下图就是满足上述要求的存储结构，其中R只有18个结点，被分成3块，每块中有6个结点，第一块中最大关键字22小于第二块中最小关键字24，第二块中最大关键字48小于第三块中最小关键字49。
      
2、分块查找的基本思想
　　分块查找的基本思想是：
（1）首先查找索引表
　　索引表是有序表，可采用二分查找或顺序查找，以确定待查的结点在哪一块。
（2）然后在已确定的块中进行顺序查找  
　　由于块内无序，只能用顺序查找。

如果设计海量数据存储时可以考虑使块内也有序，可以减少内存空间，存多级索引表就可以提高查询效率。

3、分块查找示例
【例】对于上例的存储结构：
（1）查找关键字等于给定值K=24的结点
　　因为索引表小，不妨用顺序查找方法查找索引表。即首先将K依次和索引表中各关键字比较，直到找到第1个关键宇大小等于K的结点，由于Kblk=ASLbn+ASLsq≈lg(b+1)-1+(s+1)/2≈lg(n/s+1)+s/2
②以顺序查找确定块，分块查找成功时的平均查找长度
      ASL'blk=(b+1)/2+(s+1)/2=(s2+2s+n)/(2s)
注意：
    当 s=

时ASL'blk取极小值

+1 ，即当采用顺序查找确定块时，应将各块中的结点数选定为

。
　　【例】若表中有10000个结点，则应把它分成100个块，每块中含100个结点。用顺序查找确定块，分块查找平均需要做100次比较，而顺序查找平均需做5000次比较，二分查找最多需14次比较。
　　注意：
　　分块查找算法的效率介于顺序查找和二分查找之间。

（2）块的大小
　　在实际应用中，分块查找不一定要将线性表分成大小相等的若干块，可根据表的特征进行分块。
　　【例】一个学校的学生登记表，可按系号或班号分块。

（3） 结点的存储结构
　　各块可放在不同的向量中，也可将每一块存放在一个单链表中。
  
（4）分块查找的优点
　　分块查找的优点是：
　　①在表中插入或删除一个记录时，只要找到该记录所属的块，就在该块内进行插入和删除运算。
　　②因块内记录的存放是任意的，所以插入或删除比较容易，无须移动大量记录。
　　分块查找的主要代价是增加一个辅助数组的存储空间和将初始表分块排序的运算。

当用线性表作为表的组织形式时，可以有三种查找法。其中以二分查找效率最高。但由于二分查找要求表中结点按关键字有序，且不能用链表作存储结构，因此，当表的插入或删除操作频繁时，为维护表的有序性，势必要移动表中很多结点。这种由移动结点引起的额外时间开销，就会抵消二分查找的优点。也就是说，二分查找只适用于静态查找表。若要对动态查找表进行高效率的查找，可采用下面介绍的几种特殊的二叉树或树作为表的组织形式。不妨将它们统称为树表。下面将分别讨论在这些树表上进行查找和修改操作的方法。

二叉排序树
1、二叉排序树的定义
　　二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
　　上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。

2、二叉排序树的特点
　　由BST性质可得：
　　（1） 二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
　　（2） 二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。
  注意：
　　实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
　　（3） 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。
　　【例】下图所示的两棵树均是二叉排序树，它们的中序序列均为有序序列：2，3，4，5，7，8。
   
3、二叉排序树的存储结构
typedef int KeyType； //假定关键字类型为整数
typedef struct node { //结点类型
  KeyType key； //关键字项
  InfoType otherinfo； //其它数据域，InfoType视应用情况而定，下面不处理它
  struct node *lchild，*rchild； //左右孩子指针
} BSTNode；
typedef BSTNode *BSTree； //BSTree是二叉排序树的类型

（3） 二叉排序树上的查找
①查找递归算法
    　在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。
递归的查找算法：
BSTNode *SearchBST(BSTree T，KeyType key)
  { //在二叉排序树T上查找关键字为key的结点，成功时返回该结点位置，否则返回NUll
    if(T==NULL||key==T->key) //递归的终结条件
      return T； //T为空，查找失败；否则成功，返回找到的结点位置
    if(keykey)
      return SearchBST(T->lchild，key)；
    else
      return SearchBST(T->rchild，key)；//继续在右子树中查找
   } //SearchBST
当查找的文件较大，且存放在磁盘等直接存取设备中时，为了减少查找过程中对磁盘的读写次数，提高查找效率，基于直接存取设备的读写操作以"页"为单位的特征。
    　1972年R.Bayer和E.M.McCreight提出了一种称之为B-树的多路平衡查找树。它适合在磁盘等直接存取设备上组织动态的查找表。
B-树的定义
1、B-树的定义
    　一棵m(m≥3)阶的B-树是满足如下性质的m叉树：
(1)每个结点至少包含下列数据域：
    (j，P0，Kl，P1，K2，…，Ki，Pi)
　　其中：
    j为关键字总数
    Ki(1≤i≤j)是关键字，关键字序列递增有序：K1 2i。
    Pi(0≤i≤j)是孩子指针。对于叶结点，每个Pi为空指针。
  注意：
    　①实用中为节省空间，叶结点中可省去指针域Pi，但必须在每个结点中增加一个标志域leaf，其值为真时表示叶结点，否则为内部结点。
　　②在每个内部结点中，假设用keys(Pi)来表示子树Pi中的所有关键字，则有：
　　　　　　　keys(P0)11)2ii)
即关键字是分界点，任一关键字Ki左边子树中的所有关键字均小于Ki，右边子树中的所有关键字均大于Ki。
(2)所有叶子是在同一层上，叶子的层数为树的高度h。
(3)每个非根结点中所包含的关键字个数j满足：
                        

。
    　即每个非根结点至少应有

个关键字，至多有m-1个关键字。
    　因为每个内部结点的度数正好是关键字总数加1，故每个非根的内部结点至少有

子树，至多有m棵子树。
(4)若树非空，则根至少有1个关键字，故若根不是叶子，则它至少有2棵子树。根至多有m-1个关键字，故至多有m棵子树。

　散列方法不同于顺序查找、二分查找、二叉排序树及B-树上的查找。它不以关键字的比较为基本操作，采用直接寻址技术。在理想情况下，无须任何比较就可以找到待查关键字，查找的期望时间为O(1)。
散列表的概念
1、散列表
    　设所有可能出现的关键字集合记为U(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为K（|K|比|U|小得多）。
    　散列方法是使用函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上（m=O(|U|)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时间内就可完成查找。
  其中：
　    ① h：U→{0，1，2，…，m-1} ，通常称h为散列函数(Hash Function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销。
    　② T为散列表(Hash Table)。
    　③ h(Ki)(Ki∈U)是关键字为Ki结点存储地址(亦称散列值或散列地址)。
    　④ 将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为散列(Hashing)


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