zz 一个数字题（载自水木社区）

linux_arm

发信人: Purusa (木偶机器人),信区: Python

标
题: [转载]一个数字游戏(1)

发信站:BBS 水木清华站 (Thu Aug  7 14:31:37 2003)

[ 一切从游戏开始 ]

* 故事虚构,是从一个真的游戏再综合新闻组的内容而来.

缘起:

这是一个晴朗的星期六下午,你悠闲地在网上浏览. 忽然间你看到一个留言板上的小游戏

.

它很简单,

问题是: 把五个数字 56789, 放到[][][] * [][], 令结果最大.

你最先对自己说: "这有什么难,把最大的放到最大位数那里就行了." 你再心算了一下,

也许不对.

每个结果要看其他位置上放了什么数才行.你开始觉得有些兴趣了, 反正你正在学一种好

玩的编程

语言, 何不练习一下呢?

于是你开出你心爱的 Python,开始思考: "其实我要的是一个程式, 我给它各种数字的组

合, 然后

它自动帮我出最大的一个. 如果我传入1,1,1,1,1 和 1,1,1,1,2, 它会知道要算 111 *

11 和

111 * 12, 并求出较大的是 111* 12 并输出这个组合以及其乘积. 这个程式并不难嘛."

   code:

##############################################################################

############

# calc.py

def calc(seq):

  maximum= 0

  max_item= []

  fori in seq:

   product = (i[0]*100 + i[1]*10 + i[2]) * (i[3]*10 + i[4])

   if product > maximum:

      maximum = product

      max_item = i

   elif product == maximum:

      max_item += ','+i

  returnmax_item, maximum

   seq = [ [5,6,7,8,9], [5,6,7,9,8] ]

   max_item, maximum = calc(seq)

   print "Maximum at", max_item, ",product", maximum

   ##########################################################################

################

你试了一下,

   code:

##############################################################################

############

   $python calc.py

   Maximum at [5, 6, 7, 9, 8] ,product 90160

   ##########################################################################

################

没问题. 现在你只要给出所有的排列即可.你打了几行, 觉得 [5,6,8,7,9] 这样打太辛苦

了,

而且用 i[0]*100 +i[1]*10 ... 的方法好像太难看了, 因此你有必要做一次修改. 好,

用字串吧."56789", 这样输入时较快, 而且 int("567") * int("89")要好看得多, 而且

也应该快些. 另外你也把程式改得更短,看起来像是个有经验人所写.

   code:

##############################################################################

############

# calc.py

def calc(seq, where):

  maximum,max_item = 0, []

  fori in seq:

   product = int(i[:where]) * int(i[where:])

   if product > maximum:

      maximum, max_item = product, i

   elif product == maximum:

      max_item += ','+ i

  print"Maximum at", max_item, ",product", maximum

   if __name__ == "__main__":

   seq = [ "56789", "56798" ]

   where = 3

   calc(seq,where)

   ##########################################################################

################

嗯, 好些了. 那句 if__name__ == "__main__" 是为了将来你把 calc.py 做为模组来用

时而设的.

在别的程式中用 import calc的话那几行就不会运行了.

现在你可以随自己的意来解更普遍的问题,

比如 123 放在 [] * [] [],

或是 1234567 放在 [] [][] [] * [] [] [] 这样的问法. 现在你开始输入排列

了. "56789","56798", "56879", "56897", .........

没多久你又觉得自己太愚蠢了,为什么不叫电脑程式自动产生这些无聊的排列呢?

56789 一共有 5! 也就是 120种排列方法呢! 如果你想算 123456789 的话,

用手输入可能要用去一生的时间!!

于是你开始想如何产生排列的算法了.用循环就可以了, 不过循环会产生重覆的组合,

譬如 55555.但我们可以加些条件式进去把重覆项拿走. 于是你有了第一个程式解.

   code:

##############################################################################

############

#permute1.py

def permute(seq):

  result= []

  fora in seq:

   for b in seq:

     for c in seq:

       for d in seq:

         for e in seq:

           if a!=b and a!=c and a!=d and a!=e and \

              b!=c and b!=d and b!=e and \

              c!=d and c!=e and d!=e:

             result.append(''.join([a,b,c,d,e]))

  returnresult

   seq = list("56789")

   where = 3

   thelist = permute(seq)

   import calc

   calc.calc(thelist,where)

   ##########################################################################

################

你小心地记着用 ''.join()的方法产生字串要比用 a+b+c+d 快, 同时也认为用

import calc的方式会让你更容易为不同的地方做些速度的微调. 你开始运行程式了,

你得到:

   code:

##############################################################################

############

%python permute1.py

Maxmum at 87596,product 84000

   ##########################################################################

################

你成功了. 啊哈,你认为可以贴到留言板上去领赏了. 经过一些考虑后, 你觉得还是要做

到更

普遍的功能,就是让用户输入排列多少个数字, 怎样分割. 研究了一下程式, 你觉得用循

环好

像无法达到要求,因为你事前并不知道要排多少个数字, 因此你不知道要写多少个循环才

够.

面对这种情况, 你好像只能用递归的方法了.

你知道如何求得, 例如, 5个数字的排列: 先挑一个数, 有五种选择; 当选定了一个数之

后

挑第二个数时只剩下四个选择, 依此类推.因此五个数共有 5*4*3*2*1 共 120 个排列.

当你面对"56789" 这五个数的排列问题时, 你先挑出一个数, 例如 6, 那剩下的便是一个

四个数字的排列问题了. 就是说,56789 的排列可以简化 (或是简单复杂化 ) 成字头

为 5 的所有排列加上字头为 6的所有排列加字头为 7 的所有排列加字头为 8 的所有排

列

再加字头为 9 的所有排列. 想通了这点,你决定用递归函数来写程式, 先依次在 56789

中

选出 5, 然后把剩下的 6789当做是一个新的求排列问题再次调用函数, 以得到所有以 5

为字头的排列; 再选出 6, 剩下的5789 调用函数. 而每次求 6789 或是 5789 的排列时

再

把它简化成另一个求 3 个数字的排列问题,直到要求的排列只剩下一个数.

以下就是你的函数,不过你还不知道它到底是不是正确的, 因为写递归函数很易出错, 因

此

你要先试一下.

   code:

##############################################################################

############

#permute2.py

def permute(seq):

  l= len(seq)

  ifl == 1:

   return [seq]

  else:

   res=[]

   for i in range(len(seq)):

     rest = seq[:i] + seq[i+1:]

     for x in permute(rest):

       res.append(seq[i:i+1] + x)

   return res

   seq = list("1234")

   thelist = permute(seq)

   thelist = [ ''.join(x) for x in thelist ]

   print thelist

   ##########################################################################

################

你运行后得到以下的结果:

   code:

##############################################################################

############

$ pythonpermute2.py['1234', '1243', '1324', '1342', '1423', '1432', '2134', '

2143', '2314','2341', '2413',

'2431','3124', '3142', '3214', '3241', '3412', '3421', '4123', '4132', '4213

', '4231',

'4312','4321']

   ##########################################################################

################

看来是正确的. 但有没有办法再快一些呢?你想了半天, 终于发现其实你不必等到 l = 1

的时候才有所动作, 你可以在 l = 2的时候就干些事了. 因为你知道 l = 2 的话, 排列

一定是 [ [0,1], [1,0] ]的, 这样你起码可以用些力气帮电脑一把. 当然如果你把 l =

3

的排列也写出来更好, 但写到 l = 4或以上大可不必了. 这种帮它一下的做法在程式优化

中的学名是 unroll,你隐约记得是学过的. 好, 现在你有另一个程式了.

   code:

##############################################################################

############

#permute3.py

def permute(seq):

  l= len(seq)

  ifl <= 2:

   if l == 2:

     return [ seq, [seq[1], seq[0]] ]

   else:

     return [seq]

  else:

   res=[]

   for i in range(len(seq)):

     rest = seq[:i] + seq[i+1:]

     for x in permute(rest):

       res.append(seq[i:i+1] + x)

   return res

   seq = list("12345")

   thelist = permute(seq)

   thelist = [ ''.join(x) for x in thelist ]

   print thelist

   ##########################################################################

################

现在你可以正式测试了. 你把permute3.py 改了一下, 以便可以从命令行取得数字以及分

割方法. 程式变成下面的样子, 同时你也对permute2.py 做了相同的修改.

   code:

##############################################################################

############

#permute3.py

def permute(seq):

  l= len(seq)

  ifl <= 2:

   if l == 2:

     return [ seq, [seq[1], seq[0}} ]

   else:

     return [seq]

  else:

   res=[]

   for i in range(len(seq)):

     rest = seq[:i] + seq[i+1:]

     for x in permute(rest):

       res.append(seq[i:i+1] + x)

   return res

   import sys, calc

   seq = list(sys.argv[1])

   where = int(sys.argv[2])

   thelist = [ ''.join(x) for x in permute(seq) ]

   Print 'Got', len(thelist), 'items.'

   calc.calc(thelist, where)

   ##########################################################################

################

你开始试行了. 用 time方式来看程式到底运行了多长时间吧.

   code:

##############################################################################

############

$ time pythonpermute2.py 56789 3

Got 120 items.

Maximum at 87596,product 84000

   real 0m0.057s

   user 0m0.050s

   sys 0m0.000s

   $ time python permute3.py 56789 3

   Got 120 items.

   Maximum at 87596 ,product 84000

   real 0m0.040s

   user 0m0.030s

   sys 0m0.010s

   ##########################################################################

################

呵, 不错. 修改了的就是快些.到了这个地步, 你开始觉得好奇了. 像求排列这样一个

常见的问题, 不知道别人都是怎样做的呢.也许应该到网上去找找看, 或者有一两个已经

写好的程式片断可以抄的.你可不想弄错一个原来己经有标准答案的问题. 把 permute2.

py

贴上留言板或者会令自己看起来像一个三流的程式设计员,这可是你最不想见到的.

于是你在网上到处搜寻.不过似乎都是以递归算法为主的, 直至用了一些时间, 你终于在

ASPN:的网上程式码收集站上看到了这一个片断:

   code:

##############################################################################

############

# permute4.py

def permute(seq,index):

  seqc= seq[:]

  seqn= [seqc.pop()]

  divider= 2

  whileseqc:

   index, new_index = divmod(index,divider)

   seqn.insert(new_index, seqc.pop())

   divider += 1

  return''.join(seqn)

   ##########################################################################

################

作者声称这个算法的量级是 O(n) 的.你觉得难以置信, 但不妨一试. 由于你理解到这个

函数每次只传回排列中的某一项,因此你写了个小程式去验算它.

   code:

##############################################################################

############

# test.py

from permute4.pyimport permute

   seq = list("1234")

   for i in range(30):

   print permute(seq, i),

   ##########################################################################

################

试验一下:

   code:

##############################################################################

############

   $ python test.py

   1234 1243 1324 1423 1342 1432 2134 2143 3124 4123 3142 4132 2314 24133214

4213

   3412 4312 2341 2431 3241 4231 3421 4321 1234 1243 1324 1423 1342 1432

   ##########################################################################

################

测试显示这个函数没问题.但它怎样做到的呢? 你研究了一下, 每个不同的 index 值都

传回唯一的排列, 而且大过 n! 的index 会从头来算起. 而且 divider 每次都要增加一

,

而列表的排法又是按商余数来重整. 唉,不得要领. 嗨! 管它呢. 反正能用就行了. 于是

你修改 permute4.py,加入一个新的函数求 factorial, 这样就可以调用 permute 得到所

有的排列. 并进行计时.你用了更多的数字, 以便速度的差别更明显些.

   code:

##############################################################################

############

# permute4.py

def permute(seq,index):

  seqc= seq[:]

  seqn= [seqc.pop()]

  divider= 2

  whileseqc:

   index, new_index = divmod(index,divider)

   seqn.insert(new_index, seqc.pop())

   divider += 1

  return''.join(seqn)

   def fact(x):

   f = 1

   for i in range(1,x+1):

   f *= i

   return f

   import sys, calc

   seq = list(sys.argv[1])

   where = int(sys.argv[2])

   n = fact(len(seq))

   thelist = [ permute(seq, i) for i in range(n) ]

   print 'Got', len(thelist), 'items.'

   calc.calc(thelist, where)

   ##########################################################################

################

   ##########################################################################

################

   $ time cpython permute3.py 1234567 4

   Got 5040 items.

   Maximum at 6531742 ,product 4846002

   real 0m0.461s

   user 0m0.440s

   sys 0m0.020s

   $ time cpython permute4.py 1234567 4

   Got 5040 items.

   Maximum at 6531742 ,product 4846002

   real 0m0.389s

   user 0m0.370s

   sys 0m0.010s

   ##########################################################################

################

哇! 的确不是盖的. 很好,而且现在你知道了别人不知的新答案. 就把它贴上去罢.

就在你决定的时候按钮之际, 你到底犹猭了:"我对这个算法不是很了, 如果别人问起

的话怎样解答呢?这会让我像个东抄西抄的小偷呢! 不, 要不我要明白它的原理, 不然

就自己做一个比它更好的."你觉得壮志无限.

但是现在已经很晚, 你要去睡了.无奈你在床上反覆地思考着更好的方法,

你整个晚上都没睡好.

待续......

linux_arm

第二天:

你醒来第一件事, 洗脸刷牙. 编程爱好者并不一定和终日蓬头垢面同义. 然后呢, 看看电
视报纸, 做些公益活动,
今天是礼拜天嘛. 废话少说, 终于你在电脑前坐下, 登入了你喜爱的 Slackware / RedHa
t / Redflag /
Mandrake / Debian / WindowsXP / Chinese2000 / DOS / Solaris/ AIX / Unicos / OS
X
[作者按: 请依实际情况增删, 但千万拜托不要把 SCO 也加进来], 这些都是 Python 能够
运行的平台.

你记起你以前学到递归时听过的话: 任何递归/回溯函数都可以还原成非递归形式的. 于是
你决定用你自己的
方式一试. 你默念着求排列的方法, 5 个数取一个, 剩下 4 个, 再取一个, 剩下 3 个 .
... 于是你写出
一个新的程式, 和最初的一个很相像:

    code:


##############################################################################
############
# permute5.py
def permute(seq):
  result = []
  for i in seq:
    seq1 = seq[:]
    seq1.remove(i)
    for j in seq1:
      seq2 = seq1[:]
      seq2.remove(j)
      for l in seq2:
        seq3 = seq2[:]
        seq3.remove(l)
        for m in seq3:
          seq4 = seq3[:]
          seq4.remove(m)
          result.append(''.join([i,j,l,m,seq4[0}}))
  return result

    print permute(list("12345"))

    ##########################################################################
################

这个程式依次创建 5, 4, 3, 2, 1 个数的列表, 每个都不包括之前被选的数字, 然后把
5 个数合起来完成一种排列.
当然, 你还有空间做 unroll. 但现在问题在于, 你对程式的要求是事先并不知道要求多少
个数字的排列, 就是你
不知道要写几个 for 才够. 但现在你认为有一个好办法: 既然 Python 是动态的, 它可以
执行自己写出来的编码,
为什么不叫它自己写个循环程式来完成工作呢? 你觉得这种让程式来为自己写程式的想法
很科幻也很妙, 而且让你
记起了以前听到很多资深程式员爱用的 m4 宏语言. 于是你赶紧试了一个. 你认为可以用
counter0, counter1,
counter2...来代替 i, j, l, m...的循环子命名法.

    code:


##############################################################################
############
# permute5.py
def genfunc(n):
  head = """
def permute(seq0):
  result = [] """
  boiler = """
for counter%i in seq%i:
  seq%i = seq%i[:]
  seq%i.remove(counter%i)"""
  for i in range(1,n):
    space = '  '*i
    head = head + boiler.replace('\n','\n'+space)%(i,i-1,i,i-1,i,i)
  temp = ','.join([ 'counter%i'%(x) for x in range(1,n) ] + ["seq%i[0]"%(n-1)]
)
  head = head + '\n' + space + "  result.append(''.join([%s]))"%(temp)
  return head + '\n  return result\n'
   
import sys
functext = genfunc(len(sys.argv[1]))
print functext
exec(functext)
print dir()
thelist = permute(list(sys.argv[1]))
print 'Got', len(thelist), 'items.'

    ##########################################################################
################

用程式来写程式非常容易出错, 因此最好先试一下 genfunc 是否真的产生正确的 permut
e 函数:

    code:


##############################################################################
############
sh-2.05b$ python permute5.py 12345 3

    def permute(seq0):
    result = []
    for counter1 in seq0:
    seq1 = seq0[:]
    seq1.remove(counter1)
    for counter2 in seq1:
    seq2 = seq1[:]
    seq2.remove(counter2)
    for counter3 in seq2:
    seq3 = seq2[:]
    seq3.remove(counter3)
    for counter4 in seq3:
    seq4 = seq3[:]
    seq4.remove(counter4)
    result.append(''.join([counter1,counter2,counter3,counter4,seq4[0}}))
    return result['__builtins__', '__doc__', '__name__', 'calc', 'functext', '
genfunc', 'permute', 'sys']
    Got 120 items.

    ##########################################################################
################

看来格式是弄对了. 现在算算运行时间, 会不会好些呢? 也许会比以前更快, 也许因为要
再执行自己产生的
程式而更慢, 一切都要看实际的数据才能呢! 你修改了 permute5.py 以便它能标准化地计
算时间. 你开始觉得
import calc 实在是挺聪明的设计.

    code:


##############################################################################
############
# permute5.py
def genfunc(n):
  head = """
def permute(seq0):
  result = [] """
  boiler = """
for counter%i in seq%i:
  seq%i = seq%i[:]
  seq%i.remove(counter%i)"""
  for i in range(1,n):
    space = '  '*i
    head = head + boiler.replace('\n','\n'+space)%(i,i-1,i,i-1,i,i)
  temp = ','.join([ 'counter%i'%(x) for x in range(1,n) ] + ["seq%i[0]"%(n-1)]
)
  head = head + '\n' + space + "  result.append(''.join([%s]))"%(temp)
  return head + '\n  return result\n'

    import sys, calc
    functext = genfunc(len(sys.argv[1]))
    #print functext
    exec(functext)
    thelist = permute(list(sys.argv[1]))
    print 'Got',len(thelist),'items.'
    calc.calc(thelist,int(sys.argv[2]))

    ##########################################################################
################

开始计时:

    code:


##############################################################################
############
$ time cpython permute5.py 1234567 4
Got 5040 items.
Maximum at 6531742 ,product 4846002

    real 0m0.213s
    user 0m0.200s
    sys 0m0.010s

    ##########################################################################
################

啊哈! 那个什么量级 O(n) 的也被你打败!! 你觉得它的量级其实不是 O(n), 那只是对找
一整个排列的其中
一个的时候才有用, 要把整个排列都算出来的话还是要回到 n! 上的.

你非常自豪. 但这也许是适当的时候提醒自己谦虚的妤处. 既然都到了这个地步了, 何不
再走多一步, 翻一下书看看,
也许你找到的方法已经早有别人发现了. 果真是这样的话, 你, 一个无知的白痴, 到处大
吹大擂自己的发明是会
被笑话的.

于是你找出了封尘的电脑和数学教科书. 找到了排列组合一章, 开始细读. 终于你找到了
这样的一幅图画:

    code:

    [4321]
    [3421]
    [321] < [3241]
    [21] < [231]... [3214]
    [213]...
    [1] <
    [321]...
    [21] < [231]...
    [213]...

书中写到, 要产生一个排列其实可以用这样一个方法: "先选一个数 1, 然后第二个数 2
可以放在 1 的前面或是后面.
而每一个放法都会产生一个 2 位数, 对于每一个这样的两位数, 第三个数 3, 都可以放在
它的前面, 中间, 或是最后;
如此产生一个 3 位数; 而每一个 3 位数, 第 4 位数都可以插入到这 3 个数的任何一个
空位中, 如此类推.
书中还列出了一个程式范例呢! 并声这个方法要和已知的最快的算排列的方法速度相若.


你急不可待地开始把书中的描述实现. 用 Python, 你很快又得到了一个全新的程式:

    code:


##############################################################################
############
# permute6.py
def permute(seq):
  seqn = [seq.pop()]
  while seq:
    newseq = []
    new = seq.pop()
    #print "seq:",seq,'seqn', seqn ,'new', new
    for i in range(len(seqn)):
      item = seqn
      for j in range(len(item)+1):
        newseq.append(''.join([item[:j],new,item[j:}}))
    seqn = newseq
    #print 'newseq',newseq
  return  seqn

    import sys, calc
    seq = list(sys.argv[1])
    where = int(sys.argv[2])
    thelist = permute(seq)
    print 'Got', len(thelist), 'items.'
    calc.calc(thelist, where)

    ##########################################################################
################

测试结果如下:

    code:


##############################################################################
############
$ time cpython permute6.py 1234567 4
Got 5040 items.
Maximum at 6531742 ,product 4846002

    real 0m0.167s
    user 0m0.150s
    sys 0m0.020s

    ##########################################################################
################哇塞! 书中自有黄金屋咧! 想不到这个才是最快的算法. 你开始感到要击败这次的对手不
是一件容易的事,
而且现在已经很晚了, 你身心也都被疲倦所包围着. 你绝望地看着这个新的程式码和它那
美妙的结构,
作出最后的尝试:

待续...

linux_arm

尝试好几次想把格式编辑的好看些，但是没奏效，感兴趣的同学自己上水木看原帖吧