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第一章  集合论\r\n    集合是现代数学的基本概念，已应用于数学的各个学科及科学技术的各个领域，特别是计算机科学与技术中。\r\n                        §1.1 集合\r\n1.1.1集合的基本概念\r\n    创始人George Cantor (1845-191\r\n    集合是不能精确定义的数学基本概念，只能给与一种描述。\r\n 若定义 \r\n   凡是具有某种性质的全体称为集合。\r\n会导致悖论。\r\n理发师的故事\r\n理发师只给那些不给自己理发的人理发。\r\n若理发师不给自己理发，则属于此集合，理发师要给自己理发；\r\n若理发师给自己理发，按定义，理发师只给那些不给自己理发的人理发，与定义矛盾。\r\n再如\r\n     为所有集合所组成的集合。\r\n若 是集合，则 是最大的集合，包含所有集合，故包含自身 。但 比 这个集合要大，这与S是最大的集合矛盾，若 ，这与 的定义相矛盾， 应包括所有的集合。\r\n 集合是不加定义的数学概念，用公理化方法进行研究。\r\n只有有限个元素的集合称为有限集，有无限个元素的集合称为无限集。为了叙述方便，定义\r\n     \r\n （或 ）表示 中所含元素的“个数”。\r\n集合表示法。\r\n（1）列举法（有限个元素）\r\n           \r\n（2）描述法\r\n        是由具有性质 的全体 所组成，但   中的元素具有可分辨性，不能产生悖论。\r\n   集合具有\r\n  （1）无重复性：例如：  \r\n  （2）无次序性：例如：  \r\n   不含任何元素的集合称为空集，例如\r\n             \r\n为空集。\r\n    引入以下集合表示符号：\r\n      自然数组成的集合；\r\n     ；\r\n      整数所组成的集合；\r\n      实数所组成的集合；\r\n      复数所组成的集合。\r\n    一个集合可以是另一个集合的元素，如\r\n                             \r\n\r\n                   \r\n\r\n                                     \r\n\r\n                                          \r\n  ，\r\n但是   .\r\n\r\n集合间的关系\r\n    定义  设 、 为集合，如果集合 的元素都是集合 的元素，则称 是 的子集，表示为 ；\r\n    若 ，则称 与 相等，记作 ；\r\n 若 ，则称 是 的真子集，记作 .\r\n\r\n定理  空集是一切集合的子集。\r\n（证明略）\r\n推论  空集是唯一的。\r\n证明：设存在两个空集 和 ，则 \r\n由集合相等的定义有 .\r\n\r\n含有 个元素的集合简称为 元集，它的含有 个元素的子集称为它的 元子集。\r\n定义  集合 的全体子集构成的集合叫作 的幂集，记作 或 ，表示为\r\n              \r\n例  已知 , 求 \r\n解： 的0元子集，即空集，只有1个： \r\n 的1元子集，有 个： \r\n 的2元子集，有 个： \r\n 的3元子集，有 个： \r\n从而\r\n      \r\n    若 是 元集，则 为\r\n                  \r\n元集。\r\n由此得到以下定理\r\n定理 设 为有限集，则 \r\n     例  求  \r\n解： 为 元集,\r\n     .\r\n例 设  ，求 .\r\n     解： 为 元集，\r\n          .\r\n\r\n定义  如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为 （或 ）.

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1.3   映射\r\n\r\n    映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。\r\n    定义1. 设 是集合 的关系，如果对每个 ，有唯一的 ，使得 ，则称 是 到 的映射，记为 ，称 为 的象，记为 ；称 为 的原象。\r\n特别的，称  为 上的映射。\r\n   从集合 到 的关系成为映射的两个条件。\r\n   ⑴  的每个元素都要有象（存在性条件）\r\n   ⑵  的每个元素都只有一个象（唯一性条件） \r\n  例1. 设  则\r\n     \r\n集合 共有 个子集，因而可以定义 个关系，但其中只有 个是映射。\r\n    ；\r\n    ；\r\n    \r\n    \r\n    \r\n    \r\n    \r\n    \r\n 设 ，映射的定义域只能为 ，则对任意 ， 中 个元素中任一个可作为它的象，因而共有 个映射。\r\n例2. 设集合 到集合 的关系为\r\n       \r\n       \r\n         \r\n则 是映射， 不是， 不满足唯一性条件， 不满足存在性条件。\r\n    映射相等\r\n定义2. 设 ，若 ，并且对任意 ，有 ，则称映射 和 相等，记作 .\r\n映集的限制与扩充\r\n定义3. 设 ，若 ，且对每个 ，都有 ，则称 是 在集合 上的限制，记 ，称 是 在集合 上的扩充。 \r\n显然  \r\n例如取 是 到 的映射。令 则\r\n             。\r\n三类特殊的映射\r\n定义4. 设 \r\n⑴ 若对任意 ；当 时，有 ，则称 为单射；\r\n⑵ 若 ，则称 是满射；\r\n⑶ 若 既是单射又是满射，则称 是双射。\r\n例3.   则 是单射,非满射。\r\n例4.  则 为满射，非单射。 \r\n例5.    ，则 是双射。\r\n复合映射\r\n映射的复合就是关系的复合。\r\n定义5  设 ，则复合关系 是集合 到集合 的映射，称为 与 的复合映射。\r\n显然，对每个 ，有\r\n                   \r\n    例6. 设集合 上的映射\r\n               \r\n以及集合 到集合 的映射  \r\n          \r\n则容易算出到的复合关系\r\n      \r\n和关系的复合一样，映射的复合运算不满足交换律，即 . 但满足结合律，即  .\r\n定理1   设 ，\r\n⑴ 若  都是单射，则 也是单射；\r\n⑵ 若  都是满射，则 也是满射；\r\n⑶ 若  都是双射，则 也是双射；\r\n（证明略）\r\n逆映射\r\n任一关系都有它的逆关系，但对于映射来说不对，例如，集合 到集合 关系\r\n        \r\n是映射，作为关系来说它的逆关系为\r\n        \r\n但 不是 到 的映射。\r\n定义6. 设 是双射，它的逆关系是集合 到集合 的映射，称为 的逆映射，记为 ，而称 是可逆映射。\r\n 为可逆映射 为双射，当 为双射时， 。\r\n 可逆映射的性质\r\n 定理2. 设 ，若存在 ，使得\r\n             ， ，\r\n则  ⑴  都是可逆映射；\r\n  ⑵  ；\r\n定理3. 设  均为可逆映射, 则\r\n⑴  ；\r\n⑵  ；\r\n⑶  .\r\n（证明略）\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n

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第二章 代数系统\r\n上一章讨论了集合及集合中元素之间的关系，本章讨论集合中元素之间的运算性质。\r\n2.1 代数系统的基本概念\r\n通俗地讲，集合及集合上的运算称为代数系统。\r\n2.1.1 运算\r\n利用集合和映射（函数）的概念定义运算。\r\n定义1. 设 为集合，称映射\r\n                            \r\n为集合 上的一元运算，称映射\r\n                       \r\n为集合 上的二元运算。\r\n类似地可定义 上的 元运算，下面只讨论一元和二元运算。\r\n 上二元运算的特点：\r\n     ⑴  中任两个元素都可运算，结果唯一；\r\n     ⑵  对该运算封闭。\r\n通常用 等表示运算，称为算符。\r\n  当 为 上的一元运算时，对 进行 运算，记作  ，\r\n  当 为 上的二元运算时，对 进行 运算，记作 .\r\n 是有限集 时，通常用运算表表示 上的运算。\r\n    一元运算\r\n \r\n \r\n\r\n \r\n \r\n  \r\n \r\n         \r\n         \r\n    \r\n \r\n\r\n\r\n二元运算\r\n \r\n                      \r\n\r\n \r\n \r\n \r\n \r\n               \r\n              \r\n                            \r\n              \r\n\r\n    例1．  ，布尔加法，布尔乘法的运算表为\r\n    布尔加法        \r\n \r\n0    1\r\n0\r\n1        0         1\r\n1    1\r\n    布尔乘法 \r\n \r\n0    1\r\n0\r\n1          0    0\r\n0    1\r\n\r\n    记 为模 加法， 为模 乘法。  \r\n    例2． 为 上的二元运算，运算表为\r\n 模2加法\r\n \r\n0    1\r\n0\r\n1          0    1\r\n1    0\r\n模2乘法\r\n \r\n0    1\r\n0\r\n1          0    0\r\n0    1\r\n例3．  的运算表；\r\n \r\n0   1   2\r\n0\r\n1\r\n2        0         1   2\r\n1         2   0\r\n2   0   1\r\n\r\n \r\n0   1   2\r\n0\r\n1\r\n2        0         0   0\r\n0         1   2\r\n0   2   1\r\n\r\n    例4．设 ，求 上的补运算～及差运算﹨的运算表。\r\n 解：  \r\n \r\n～ \r\n\r\n \r\n \r\n \r\n \r\n \r\n \r\n \r\n \r\n\r\n\r\n ﹨\r\n             \r\n\r\n \r\n \r\n \r\n \r\n                \r\n              \r\n             \r\n               \r\n\r\n    运算律\r\n    ⒈ 交换律，结合律，幂等律。\r\n    定义2  设 为集合 上的二元运算。\r\n    ⑴ 如果对任意 ，都有\r\n               \r\n则称 满足交换律。\r\n    ⑵ 如果对任意的 ，都有\r\n                \r\n则称 满足结合律。\r\n    ⑶ 如果对任意的 ，都有\r\n                \r\n则称 满足幂等律。 称为幂等元。  \r\n    例5. 设 ，对任意的 ，定义\r\n                   \r\n则其运算表为\r\n \r\n          \r\n\r\n \r\n \r\n \r\n          \r\n          \r\n          \r\n\r\n由于 ，故交换律不成立。\r\n    设 是 中的任意三个元素，由于\r\n        \r\n故 满足结合律。由 ，得 满足幂等律。\r\n    例6 设 为正整数，对任意 ，定义\r\n          \r\n则\r\n       \r\n交换律成立，但\r\n           \r\n结合律不成立。由于\r\n          \r\n幂等律不成立。由  得0为幂等元。\r\n    若运算 满足结合律，可定义幂次\r\n            。\r\n则有            \r\n            \r\n 为正整数。\r\n    ⒉ 分配律，吸收律\r\n定义3  ⑴ 设 和 是集合 上的两个二元运算，对任意的 ，有\r\n              \r\n则称 对 满足分配律 \r\n    ⑵ 对任意的 ，有\r\n              \r\n则称 和 满足吸收律。\r\n    例7  为实数集， +分别为 上的普通乘法和加法，则乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律。由于\r\n              \r\n所以 和+不满足吸收律。\r\n    例8   和 为 上的二元运算， 对 是可分配的， 对 也是可分配的，由于对任意的 \r\n             \r\n所以 和 满足吸收律。\r\n    特殊元素\r\n    特殊元素有三种，即单位元，零元及可逆元。\r\n    定义4 设 为集合 上的二元运算，如果存在 ，使得对任意的 ，都有        \r\n                   \r\n则称 为集合 关于 的单位元。\r\n    对任意集合 来说，关于 运算的单位元不一定存在。\r\n    定理1 若单位元存在，则一定唯一。\r\n    证： 若 和 是集合 关于 运算的单位元，则\r\n            \r\n即单位元是唯一的。\r\n    例9 设 为集合， 是 上的运算。由于对任意的 ，有\r\n               \r\n故 为 上关于运算 的单位元。\r\n    同理， 为 上关于运算 的单位元。\r\n    定义5  设 为集合 上的二元运算，如果存在 ，使得对任意的 ，有\r\n                      \r\n则称 为集合 关于 的零元。 \r\n    对任意集合 的来说，关于运算 的零元不一定存在。\r\n    定理2 若零元存在，则一定唯一。\r\n    证：设 和 是集合 关于 的零元，则有\r\n                   \r\n即零元是唯一的。\r\n    例10  为实数集，对任意的 ，定义\r\n                 \r\n则对任意的   \r\n            \r\n故 为 的零元。\r\n  上的普通加法无零元，普通乘法的零元为0。\r\n 定义6  设 为集合 上的二元运算，且有单位元 ，如果对 ，存在 ，使得\r\n                    \r\n则称 是关于 可逆的，称 为 关于 的逆元。记作 \r\n 事实上， 与 互为逆元。\r\n 集合 上不一定每一个元素都可逆，若可逆，且满足结合律，则\r\n    ⑴ 逆元一定是唯一的。\r\n   ⑵  。\r\n   ⑶ 若 可逆，则 。\r\n  （证明略）\r\n   例10.  , 为 上的二元运算，运算表为 \r\n \r\n         \r\n\r\n \r\n \r\n \r\n         \r\n         \r\n         \r\n\r\n则 满足结合律。由运算表可知， 为单位元，没有零元，且 \r\n例12. 设 ， 为 上的二元运算，运算表为\r\n \r\n         \r\n\r\n \r\n \r\n \r\n         \r\n         \r\n         \r\n\r\n则 为单位元， 为零元，且 ， 不是可逆元。

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⒉⒈⒊ 代数系统的同态与同构\r\n    两个代数系统之间若存在着保持运算的映射，则称为同态。\r\n    定义1  设 都是代数系统， 和 是二元运算，若存在映射 ，使得对任意 有\r\n                        \r\n则称 是 到 的同态映射，简称同态。\r\n若 和 同为一元运算，则为\r\n                   .\r\n例1  设 定义\r\n               （书上记为 ）\r\n则对于任意的 ，有\r\n             \r\n                   =    \r\n                   =     \r\n    设 ，则 到 的同态应保持两个运算，即对任意的 ，有\r\n                          \r\n    例2  设代数系统 ，定义\r\n                     \r\n则对任意的 ，\r\n                        \r\n                          \r\n    定义2  设 是代数系统 到 的同态，\r\n    ⑴ 若 是单射，则称 是 到 的单同态，\r\n    ⑵ 若 是满射，则称 是 到 的满同态，记为    \r\n    ⑶ 若 是双射，则称 是 到 的同构，记为 .\r\n    满同态的性质：\r\n    定理 设 分别为带有两个二元运算的代数系统，且 ，则\r\n    ⑴ 在 中成立的算律，在 中也成立。\r\n    ⑵ 若 是 关于 的单位元，则 是 关于 的单位元；\r\n    ⑶ 若 是 关于 的零元，则 是 关于 的零元；\r\n    ⑷ 若 是关于 的可逆元，则 是关于 的可逆元，且其逆元为 。\r\n   （证明略）\r\n    例3  设 是代数系统 到 的同态， 都是二元运算，则 是 的子代数。\r\n    证：显然有 ，只要证明 对运算 封闭。\r\n对任意的 ，则存在 ，使得\r\n                \r\n于是\r\n              \r\n所以 对 是封闭的，因此， 是 的子代数。\r\n    同构的两个代数系统认为是“一样”的，只是表示的符号不同。记 为全体正实数所组成的集合，定义\r\n                             ㏑ \r\n则   .\r\n\r\n

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2.2  群\r\n    下面讨论一个典型的代数系统。\r\n    2.2.1 群的基本概念\r\n    定义⒈ 设 为代数系统， 是 上的二元运算，如果\r\n    ⑴ 运算 是可结合的；\r\n    ⑵ 存在单位元 ；\r\n    ⑶  中每个元素都是可逆的\r\n则称 为群。\r\n    由定义可知，\r\n   ⑴ 群中没有零元（零元不可逆）；\r\n   ⑵ 群中每个元素的逆元都是唯一的。\r\n   例⒈   是群（+为普通加法）\r\n   +满足结合律，对任意的 ，\r\n          \r\n0是运算+的单位元，又由于\r\n        \r\n所以  从而 为群。\r\n （ 为普通乘法）不是群。对于任意的 ，由于\r\n              \r\n所以0为运算•的零元，零元不可逆。 不满足群的定义 \r\n    定义2. 设 为群，如果 中含有无限个元素，则称 是无限群，如果 中含有有限个元素，则称 为有限群。称 （ 中所含元素的个数）为群 的阶。\r\n    为无限群。\r\n    例2. 设代数系统为 ，证明 是群\r\n    证明   的运算表为\r\n \r\n0  1  2\r\n0\r\n1\r\n2        0        1  2\r\n1        2  0\r\n2        0  1\r\n由运算表可知， 满足结合律。即对任意的 ，有\r\n           \r\n单位元为0，且每个元素均可逆\r\n          \r\n所以 是群。由于 ，故 为三阶群。\r\n通常将群的运算记为 • \r\n下面介绍两类重要的群。\r\n交换群\r\n定义3.  设 是群，如果•是可交换的，则称 为交换群或阿贝尔群。\r\n由 的运算表可知 为交换群。\r\n例3. 设 为代数系统， ，运算表为\r\n \r\ne   a   b   c\r\ne\r\na\r\nb\r\nc        e   a   b   c\r\na   e   c   b\r\nb   c   e   a\r\nc   b   a   e\r\n证明  是交换群。\r\n证明  由运算表可见运算 满足交换律， 是单位元，对任意的 ，逐一验证，可知\r\n                \r\n即运算 满足结合律。\r\n由运算表可知\r\n          \r\n综上， 为交换群。\r\n    上面的群称为Klein四阶元群。\r\n    设 为群，由于群中单位元存在，对任意的 ，规定\r\n                    \r\n由于群中每个元素都有逆元，规定\r\n                     （ 为正整数）\r\n因而，对于群来说，幂运算可以扩充到整数。\r\n循环群\r\n定义4.  设 为群，如果存在 ，使得\r\n               \r\n则称 为循环群，称 为循环群 的生成元。\r\n例4.    是3阶循环群。\r\n前面已证明了 为交换群，由于\r\n   \r\n因而1为 的生成元，所以 为循环群。\r\n例5.  是无限阶循环群。\r\n前面已证明了， 是群，由于 满足交换律，所以 是交换群\r\n 的单位元为0，对于1 ，由于\r\n             1+（-1）=0\r\n所以 ，于是对任意 ，\r\n若 ，则\r\n             ；  \r\n若 ，则\r\n         \r\n若 ，则\r\n         \r\n                \r\n                \r\n                   \r\n综上,有 ，对任意的 . 因而， ,从而 是无限阶循环群。\r\n    同理可证-1也是 的生成元。容易验证除1和-1外，其它元素均不是生成元，故 只有两个生成元1和-1.\r\n若 为循环群，则\r\n          \r\n从而有对任意的 ，则 ，于是\r\n       \r\n所以循环群一定是交换群，但反之不成立。在例3中 ， 为交换群，但 均不是生成元。故 不是循环群。\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n[/img]

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C语言程序设计\r\n求教？！\r\n王进

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\r\n1。建立一个叫f12的MFC AppWizard(exe)中的对话矿。\r\n。\r\n2。在Controls菜单的帮助下为对话框加上三个Static Text,三个Edit Box,和六个Button.至于放的位置，不需要太多要求。\r\n3。每个控件（Static Text,Edit Box,Button)的名字是系统自动赋给的。可以自己去修改。对Static Text,选中后回车，调出属性表，在General页中改变Caption 中的文本为“数一”。在Styles页面中选择Align Text为Center.对Edit Box,与Static Text类似，可调用其属性表并将Styles页中的 Align Text改为Right.并在改页的复选框中追加Want Return一项。对于六个Botton,调出他们的属性表后，分别改动General中的Caption为“加”，“减”，“乘”，“清除”和“结束”。\r\n4。改造画面时，要调用Layout菜单中的一系列指令。\r\n5。按住Shift键，单击选中三个Static Text控件。单击Layout 中所示的Make Same Size中的Both的大小就一样了。再选中Align中的Top.选择Space Evenly中的Across,Center in Dialog 中的Horizortal.     OK!\r\n6.现在的任务只是为各个Edit Box 设置不同的变量，使用与控件相联系的 变量当然可以更好的对控件进行控制。单击View菜单 中 的 Class Wizard项激活一个对话框，点中Member Variables页面，Project 名设置为f12，Class name为CF12Dlg,选中IDC_EDIT1,双击该选项或者单机Add Variable...按钮。\r\n7。在 谈出对话矿中的Member variable name 中输入m_Nub1,在 Category中选择Value项，在Variable type 中设置 为double,   OK!\r\n(同样把另两个Edit Box 变量设置   为 m_Nub2,m_Nub3.)\r\n8。再次选中View中的classWizard谈出对话矿，Class Name设为 CF12Dlg,淡季ObjectIDs中的IDC_BUTTON1后，双机Message 中的BN_CLICKED,产生一个方法OnButton1.淡季OK后在 淡季Edit code按钮。为 CF12Dlg::OnButon1()方法加入如下代码：\r\n\r\nvoid CF12Dlg::OnButton1()\r\n{\r\n   UpdateData(TRUE);\r\n   m_Nub3=m_Nub1+m_N ub2;\r\n   UpdateData(FALSE);\r\n}\r\n9。参照步骤8完成IDC_BUTT0N2,(3,4,5,6)的实现吧。\r\nvoid CF12Dlg::OnButton6()\r\n{ \r\n  CDialog::OnOK();\r\n}\r\n10。Ctrl+F5.\r\n11。OK！\r\n

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内联函数速成：\r\ninline int add_int(int x,int y,int z)\r\n{\r\n    return x+y+z;\r\n}\r\n其中,inline是关键字，函数add_int()是一个内联函数。\r\n列体：\r\n#include<iostream.h>;\r\ninline int power_int(int x)\r\n{\r\n    return(x)*(x);\r\n}\r\nvoid main()\r\n{\r\n    for(int i=1;i<=10;i++)\r\n    {\r\n      int p=power_int(i);\r\n      cout<<i<<\"*\"<<i<<\"=\"<<p<<endl;\r\n    }\r\n}该程序中，函数 power_int()是一个内联函数，其特点是该函数在编译时被替代，\r\n而不是像一般函数 那样是在运行时被调用。\r\n