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第一章  集合论
    集合是现代数学的基本概念，已应用于数学的各个学科及科学技术的各个领域，特别是计算机科学与技术中。
                        §1.1 集合
1.1.1集合的基本概念
    创始人George Cantor (1845-191
    集合是不能精确定义的数学基本概念，只能给与一种描述。
若定义
   凡是具有某种性质的全体称为集合。
会导致悖论。
理发师的故事
理发师只给那些不给自己理发的人理发。
若理发师不给自己理发，则属于此集合，理发师要给自己理发；
若理发师给自己理发，按定义，理发师只给那些不给自己理发的人理发，与定义矛盾。
再如
     为所有集合所组成的集合。
若 是集合，则 是最大的集合，包含所有集合，故包含自身 。但 比 这个集合要大，这与S是最大的集合矛盾，若 ，这与 的定义相矛盾， 应包括所有的集合。
集合是不加定义的数学概念，用公理化方法进行研究。
只有有限个元素的集合称为有限集，有无限个元素的集合称为无限集。为了叙述方便，定义
     
（或 ）表示 中所含元素的“个数”。
集合表示法。
（1）列举法（有限个元素）
           
（2）描述法
        是由具有性质 的全体 所组成，但   中的元素具有可分辨性，不能产生悖论。
   集合具有
  （1）无重复性：例如：  
  （2）无次序性：例如：  
   不含任何元素的集合称为空集，例如
            
为空集。
    引入以下集合表示符号：
      自然数组成的集合；
     ；
      整数所组成的集合；
      实数所组成的集合；
      复数所组成的集合。
    一个集合可以是另一个集合的元素，如
                             

                  

                                    

                                          
  ，
但是   .

集合间的关系
    定义  设 、 为集合，如果集合 的元素都是集合 的元素，则称 是 的子集，表示为 ；
    若 ，则称 与 相等，记作 ；
若 ，则称 是 的真子集，记作 .

定理  空集是一切集合的子集。
（证明略）
推论  空集是唯一的。
证明：设存在两个空集 和 ，则
由集合相等的定义有 .

含有 个元素的集合简称为 元集，它的含有 个元素的子集称为它的 元子集。
定义  集合 的全体子集构成的集合叫作 的幂集，记作 或 ，表示为
              
例  已知 , 求
解： 的0元子集，即空集，只有1个：
的1元子集，有 个：
的2元子集，有 个：
的3元子集，有 个：
从而
      
    若 是 元集，则 为
                  
元集。
由此得到以下定理
定理 设 为有限集，则
     例  求  
解： 为 元集,
     .
例 设  ，求 .
     解： 为 元集，
          .

定义  如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为 （或 ）.

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1.3   映射

    映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。
    定义1. 设 是集合 的关系，如果对每个 ，有唯一的 ，使得 ，则称 是 到 的映射，记为 ，称 为 的象，记为 ；称 为 的原象。
特别的，称  为 上的映射。
   从集合 到 的关系成为映射的两个条件。
   ⑴  的每个元素都要有象（存在性条件）
   ⑵  的每个元素都只有一个象（唯一性条件）
  例1. 设  则
     
集合 共有 个子集，因而可以定义 个关系，但其中只有 个是映射。
    ；
    ；
   
   
   
   
   
   
设 ，映射的定义域只能为 ，则对任意 ， 中 个元素中任一个可作为它的象，因而共有 个映射。
例2. 设集合 到集合 的关系为
      
      
         
则 是映射， 不是， 不满足唯一性条件， 不满足存在性条件。
    映射相等
定义2. 设 ，若 ，并且对任意 ，有 ，则称映射 和 相等，记作 .
映集的限制与扩充
定义3. 设 ，若 ，且对每个 ，都有 ，则称 是 在集合 上的限制，记 ，称 是 在集合 上的扩充。
显然  
例如取 是 到 的映射。令 则
             。
三类特殊的映射
定义4. 设
⑴ 若对任意 ；当 时，有 ，则称 为单射；
⑵ 若 ，则称 是满射；
⑶ 若 既是单射又是满射，则称 是双射。
例3.   则 是单射,非满射。
例4.  则 为满射，非单射。
例5.    ，则 是双射。
复合映射
映射的复合就是关系的复合。
定义5  设 ，则复合关系 是集合 到集合 的映射，称为 与 的复合映射。
显然，对每个 ，有
                  
    例6. 设集合 上的映射
               
以及集合 到集合 的映射  
         
则容易算出到的复合关系
      
和关系的复合一样，映射的复合运算不满足交换律，即 . 但满足结合律，即  .
定理1   设 ，
⑴ 若  都是单射，则 也是单射；
⑵ 若  都是满射，则 也是满射；
⑶ 若  都是双射，则 也是双射；
（证明略）
逆映射
任一关系都有它的逆关系，但对于映射来说不对，例如，集合 到集合 关系
        
是映射，作为关系来说它的逆关系为
        
但 不是 到 的映射。
定义6. 设 是双射，它的逆关系是集合 到集合 的映射，称为 的逆映射，记为 ，而称 是可逆映射。
为可逆映射 为双射，当 为双射时， 。
可逆映射的性质
定理2. 设 ，若存在 ，使得
             ， ，
则  ⑴  都是可逆映射；
  ⑵  ；
定理3. 设  均为可逆映射, 则
⑴  ；
⑵  ；
⑶  .
（证明略）

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第二章 代数系统
上一章讨论了集合及集合中元素之间的关系，本章讨论集合中元素之间的运算性质。
2.1 代数系统的基本概念
通俗地讲，集合及集合上的运算称为代数系统。
2.1.1 运算
利用集合和映射（函数）的概念定义运算。
定义1. 设 为集合，称映射
                           
为集合 上的一元运算，称映射
                       
为集合 上的二元运算。
类似地可定义 上的 元运算，下面只讨论一元和二元运算。
上二元运算的特点：
     ⑴  中任两个元素都可运算，结果唯一；
     ⑵  对该运算封闭。
通常用 等表示运算，称为算符。
  当 为 上的一元运算时，对 进行 运算，记作  ，
  当 为 上的二元运算时，对 进行 运算，记作 .
是有限集 时，通常用运算表表示 上的运算。
    一元运算





  

       
       
   



二元运算

                     





               
              
                           
              

    例1．  ，布尔加法，布尔乘法的运算表为
    布尔加法        

0    1
0
1        0         1
1    1
    布尔乘法

0    1
0
1          0    0
0    1

    记 为模 加法， 为模 乘法。  
    例2． 为 上的二元运算，运算表为
模2加法

0    1
0
1          0    1
1    0
模2乘法

0    1
0
1          0    0
0    1
例3．  的运算表；

0   1   2
0
1
2        0         1   2
1         2   0
2   0   1


0   1   2
0
1
2        0         0   0
0         1   2
0   2   1

    例4．设 ，求 上的补运算～及差运算﹨的运算表。
解：  

～











﹨
            





               
              
            
               

    运算律
    ⒈ 交换律，结合律，幂等律。
    定义2  设 为集合 上的二元运算。
    ⑴ 如果对任意 ，都有
               
则称 满足交换律。
    ⑵ 如果对任意的 ，都有
               
则称 满足结合律。
    ⑶ 如果对任意的 ，都有
               
则称 满足幂等律。 称为幂等元。  
    例5. 设 ，对任意的 ，定义
                  
则其运算表为

         




         
         
         

由于 ，故交换律不成立。
    设 是 中的任意三个元素，由于
        
故 满足结合律。由 ，得 满足幂等律。
    例6 设 为正整数，对任意 ，定义
         
则
      
交换律成立，但
           
结合律不成立。由于
         
幂等律不成立。由  得0为幂等元。
    若运算 满足结合律，可定义幂次
            。
则有            
            
为正整数。
    ⒉ 分配律，吸收律
定义3  ⑴ 设 和 是集合 上的两个二元运算，对任意的 ，有
              
则称 对 满足分配律
    ⑵ 对任意的 ，有
              
则称 和 满足吸收律。
    例7  为实数集， +分别为 上的普通乘法和加法，则乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律。由于
              
所以 和+不满足吸收律。
    例8   和 为 上的二元运算， 对 是可分配的， 对 也是可分配的，由于对任意的
            
所以 和 满足吸收律。
    特殊元素
    特殊元素有三种，即单位元，零元及可逆元。
    定义4 设 为集合 上的二元运算，如果存在 ，使得对任意的 ，都有        
                  
则称 为集合 关于 的单位元。
    对任意集合 来说，关于 运算的单位元不一定存在。
    定理1 若单位元存在，则一定唯一。
    证： 若 和 是集合 关于 运算的单位元，则
            
即单位元是唯一的。
    例9 设 为集合， 是 上的运算。由于对任意的 ，有
               
故 为 上关于运算 的单位元。
    同理， 为 上关于运算 的单位元。
    定义5  设 为集合 上的二元运算，如果存在 ，使得对任意的 ，有
                     
则称 为集合 关于 的零元。
    对任意集合 的来说，关于运算 的零元不一定存在。
    定理2 若零元存在，则一定唯一。
    证：设 和 是集合 关于 的零元，则有
                  
即零元是唯一的。
    例10  为实数集，对任意的 ，定义
                 
则对任意的   
            
故 为 的零元。
  上的普通加法无零元，普通乘法的零元为0。
定义6  设 为集合 上的二元运算，且有单位元 ，如果对 ，存在 ，使得
                    
则称 是关于 可逆的，称 为 关于 的逆元。记作
事实上， 与 互为逆元。
集合 上不一定每一个元素都可逆，若可逆，且满足结合律，则
    ⑴ 逆元一定是唯一的。
   ⑵  。
   ⑶ 若 可逆，则 。
  （证明略）
   例10.  , 为 上的二元运算，运算表为

         




         
         
         

则 满足结合律。由运算表可知， 为单位元，没有零元，且
例12. 设 ， 为 上的二元运算，运算表为

         




         
         
         

则 为单位元， 为零元，且 ， 不是可逆元。

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⒉⒈⒊ 代数系统的同态与同构
    两个代数系统之间若存在着保持运算的映射，则称为同态。
    定义1  设 都是代数系统， 和 是二元运算，若存在映射 ，使得对任意 有
                        
则称 是 到 的同态映射，简称同态。
若 和 同为一元运算，则为
                   .
例1  设 定义
               （书上记为 ）
则对于任意的 ，有
            
                   =   
                   =     
    设 ，则 到 的同态应保持两个运算，即对任意的 ，有
                          
    例2  设代数系统 ，定义
                     
则对任意的 ，
                        
                          
    定义2  设 是代数系统 到 的同态，
    ⑴ 若 是单射，则称 是 到 的单同态，
    ⑵ 若 是满射，则称 是 到 的满同态，记为   
    ⑶ 若 是双射，则称 是 到 的同构，记为 .
    满同态的性质：
    定理 设 分别为带有两个二元运算的代数系统，且 ，则
    ⑴ 在 中成立的算律，在 中也成立。
    ⑵ 若 是 关于 的单位元，则 是 关于 的单位元；
    ⑶ 若 是 关于 的零元，则 是 关于 的零元；
    ⑷ 若 是关于 的可逆元，则 是关于 的可逆元，且其逆元为 。
   （证明略）
    例3  设 是代数系统 到 的同态， 都是二元运算，则 是 的子代数。
    证：显然有 ，只要证明 对运算 封闭。
对任意的 ，则存在 ，使得
               
于是
              
所以 对 是封闭的，因此， 是 的子代数。
    同构的两个代数系统认为是“一样”的，只是表示的符号不同。记 为全体正实数所组成的集合，定义
                             ㏑
则   .

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2.2  群
    下面讨论一个典型的代数系统。
    2.2.1 群的基本概念
    定义⒈ 设 为代数系统， 是 上的二元运算，如果
    ⑴ 运算 是可结合的；
    ⑵ 存在单位元 ；
    ⑶  中每个元素都是可逆的
则称 为群。
    由定义可知，
   ⑴ 群中没有零元（零元不可逆）；
   ⑵ 群中每个元素的逆元都是唯一的。
   例⒈   是群（+为普通加法）
   +满足结合律，对任意的 ，
         
0是运算+的单位元，又由于
        
所以  从而 为群。
（ 为普通乘法）不是群。对于任意的 ，由于
              
所以0为运算•的零元，零元不可逆。 不满足群的定义
    定义2. 设 为群，如果 中含有无限个元素，则称 是无限群，如果 中含有有限个元素，则称 为有限群。称 （ 中所含元素的个数）为群 的阶。
    为无限群。
    例2. 设代数系统为 ，证明 是群
    证明   的运算表为

0  1  2
0
1
2        0        1  2
1        2  0
2        0  1
由运算表可知， 满足结合律。即对任意的 ，有
           
单位元为0，且每个元素均可逆
         
所以 是群。由于 ，故 为三阶群。
通常将群的运算记为 •
下面介绍两类重要的群。
交换群
定义3.  设 是群，如果•是可交换的，则称 为交换群或阿贝尔群。
由 的运算表可知 为交换群。
例3. 设 为代数系统， ，运算表为

e   a   b   c
e
a
b
c        e   a   b   c
a   e   c   b
b   c   e   a
c   b   a   e
证明  是交换群。
证明  由运算表可见运算 满足交换律， 是单位元，对任意的 ，逐一验证，可知
               
即运算 满足结合律。
由运算表可知
         
综上， 为交换群。
    上面的群称为Klein四阶元群。
    设 为群，由于群中单位元存在，对任意的 ，规定
                    
由于群中每个元素都有逆元，规定
                     （ 为正整数）
因而，对于群来说，幂运算可以扩充到整数。
循环群
定义4.  设 为群，如果存在 ，使得
               
则称 为循环群，称 为循环群 的生成元。
例4.    是3阶循环群。
前面已证明了 为交换群，由于
   
因而1为 的生成元，所以 为循环群。
例5.  是无限阶循环群。
前面已证明了， 是群，由于 满足交换律，所以 是交换群
的单位元为0，对于1 ，由于
             1+（-1）=0
所以 ，于是对任意 ，
若 ，则
             ；  
若 ，则
         
若 ，则
         
               
               
                  
综上,有 ，对任意的 . 因而， ,从而 是无限阶循环群。
    同理可证-1也是 的生成元。容易验证除1和-1外，其它元素均不是生成元，故 只有两个生成元1和-1.
若 为循环群，则
         
从而有对任意的 ，则 ，于是
      
所以循环群一定是交换群，但反之不成立。在例3中 ， 为交换群，但 均不是生成元。故 不是循环群。




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