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今日面试题：颠倒乾坤
在一棵二叉搜索树中，有两个节点颠倒了顺序。要求实现一个算法，在不改变树结构的前提下，恢复正确的二叉搜索树。给出一个空间为O(n)的实现很容易，那该如何给出一个空间O(1)的实现呢？
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忘我之乘积分析 http://bbs.chinaunix.net/thread-4093010-1-1.html
题目：
给你一个数组A[1..n]，请你在O(n)的时间里构造一个新的数组B[1..n]，使得B=A[1]*A[2]*...*A[n]/A。你不能使用除法运算。
分析：
看到题目，不要紧张，要头脑清晰，看穿面试官的本意，实际上，他是用除法公式，但又要求不用除法来迷惑你。
要求在不使用除法的情况下计算B=A[0]*…*A[n]/A，简单变换一下形式，即可得到B=A[0]*…*A[i-1]*A[i+1]*…*A[n]，一共n-1次乘法。每一个B计算一遍，总的时间复杂度为O(n^2)。不符合题目要求，必须减少乘法的次数。如何减少乘法的次数呢？
继续分析，通过上面的变换，我们可以得到B是由两部分相乘得到的：
A[0]*…*A[i-1]
A[i+1]*…*A[n]
先看第一部分，在计算B[i+1]的时候，是可以利用B的第一部分结果的，只需要乘以A即得到B[i+1]的第一部分。
第二部分同理，计算完A[i+1]*…*A[n]，再计算A*A[i+1]*…*A[n]，只需要乘以A即可。A*A[i+1]*…*A[n]是B[i-1]的第二部分。
由此分析，构建两个新的数组：C和D（为了方便解释，用了两个数组），
C = A[0]*…*A[i-1] = C[i-1]*A[i-1]
D = A[i+1]*…*A[n] = D[i+1]*A[i+1}
构建C和D都是O(n)的时间复杂度（C从前到后遍历一遍数组，D从后到前遍历一边数组），然后，B = C*D也是O(n)的时间复杂度。整体算法的时间复杂度是O(n)。
题目到这解答完毕。
但是面试官的问题还没有完，他们会继续问，这个解法的空间是O(n)的，能够空间O(1)的情况下实现么？
首先看看一个只有5个数的数组，A[1]，A[2]，A[3]，A[4]，A[5]。
首先从头到尾遍历：
B[1] = A[1]
B[2] = B[1]*A[2]
B[3] = B[2]*A[3]
B[4] = B[3]*A[4]
B[5] = B[4], 临时变量 C=A[5]
然后从尾到头遍历：
B[4] = B[3]*C, C=C*A[4]
B[3] = B[2]*C, C=C*A[3]
B[2] = B[1]*C, C=C*A[2]
B[1] = C
通过这个小的例子，我们得到了算法，然后可以推广到任意多的元素。这个是面试中常用的技巧。
大家可以自己尝试把算法变成代码。 |
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发表于 2013-08-01 09:14
