关于逻辑上的“对偶”（dual）

cjaizss

不加上~无以保证等号成立
比如
1/\0=(~1)\/0
但互换符号,
1\/0 != (~1)/\0
那个定理叫对偶性定理,\/和/\符号要互换,0,1也必须互换

cjaizss

不加上~无以保证等号成立
比如
1/\0=(~1)\/0
但互换符号,
1\/0 != (~1)/\0
那个定理叫对偶性定理,\/和 ...
cjaizss 发表于 2010-03-09 09:51

哪本书嘛,你看任何一本数理逻辑教材都会给你非常深刻的讲解,讲的比我详细,而我在这里只告诉你这个定理的存在,不加~是错误的

smalloc

f1(a1,a2,...an,\/,/\)=f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\)

f1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)=f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/) ...
cjaizss 发表于 2010-03-08 23:03

    对偶定理不是这样的.
对偶定理是:某个逻辑 [恒等式] 成立,其对偶式也成立.

cjaizss

晕,还没搞明白什么叫对偶吧?
\/,/\互换,0,1也得互换,这才叫对偶

cjaizss

晕,还没搞明白什么叫对偶吧?
\/,/\互换,0,1也得互换,这才叫对偶
cjaizss 发表于 2010-03-09 12:52

打个比方
假设
A/\B=C\/D
我们是无论如何也不能从这个来推导出
A\/B=C/\D
的
只是如果等式两边用同样的符号.
假设这是一个恒等式
f1(a1,...an,\/,/\)=f2(a1,...an,\/,/\)
当然,在这里,f1,f2其实是同一个函数,只是写法不一样而已
那么,根据对偶,
f1(~a1,...,~an,/\,\/)=f2(~a1,...,~an,/\,\/)
既然是恒等式,
我们拿
a1代换掉~a1,...,an代换~an
恒等式当然也成立.
于是就得到
f1(a1,...an,\/,/\)=f2(a1,...an,\/,/\)
<=>
f1(a1,...an,/\,\/)=f2(a1,...an,/\,\/)
看上去只是符号交换了而已

Quasimodo_lory

打个比方
假设
A/\B=C\/D
我们是无论如何也不能从这个来推导出
A\/B=C/\D
的
只是如果等式两边用同 ...
cjaizss 发表于 2010-03-09 13:24

楼主在这里犯了一个错误，假设A/\B=C\/D
这是一个必然错误的假设，如果你不加上A和B中至少有一个矛盾式或永真式，并且C和D中也如此。
既然A,B,C,D中存在矛盾式和永真式，那么他们的对偶就不能简单的对调/\和\/，还要将T改成F，将F改成T才对。
所以从A/\B=C\/D的假设当然推不出A\/B=C/\D

cjaizss

楼主在这里犯了一个错误，假设A/\B=C\/D
这是一个必然错误的假设，如果你不加上A和B中至少有一个矛盾式或 ...
Quasimodo_lory 发表于 2010-03-10 09:38

别跟我扯蛋了，你先把我15楼的文字看懂了再跟我谈数理逻辑吧，谢谢
另外，如果你还想真正想通一下，那么，我再说一下，在一个2^n阶布尔格(当然也可以叫布尔代数)里，将两种运算互换也依然是一个同构的布尔格，但是此时0,1互换了。

Quasimodo_lory

只是如果等式两边用同样的符号.
假设这是一个恒等式
f1(a1,...an,\/,/\)=f2(a1,...an,\/,/\)
当然,在这里,f1,f2其实是同一个函数,只是写法不一样而已
那么,根据对偶,
f1(~a1,...,~an,/\,\/)=f2(~a1,...,~an,/\,\/)
既然是恒等式,
我们拿
a1代换掉~a1,...,an代换~an
恒等式当然也成立.
于是就得到
f1(a1,...an,\/,/\)=f2(a1,...an,\/,/\)
<=>
f1(a1,...an,/\,\/)=f2(a1,...an,/\,\/)
看上去只是符号交换了而已
cjaizss 发表于 2010-03-09 13:24

楼主在这里假设
f1(a1,...an,\/,/\)<=>f2(a1,...an,\/,/\)
其实根据对偶可以直接得到
f1(a1,...an,/\,\/)<=>f2(a1,...an,/\,\/)
你认为根据对偶得到的是
f1(~a1,...,~an,/\,\/)<=>f2(~a1,...,~an,/\,\/)
其实是根据德摩根律,并且蕴含这么一个事实：
若f1(a1,...an,\/,/\)<=>f2(a1,...an,\/,/\)
那么～f1(a1,...an,\/,/\)<=>～f2(a1,...an,\/,/\)
所以就得到f1(~a1,...,~an,/\,\/)<=>f2(~a1,...,~an,/\,\/)
将～an以an代替就可得f1(a1,...an,/\,\/)<=>f2(a1,...an,/\,\/)
楼主在这里其实是证明了我上面所说的
“两个只含运算符/\，\/和～的等价复合命题其对偶也等价”

cjaizss

如果你觉得这样的符号不好，那么我换个符号，你可能习惯点。
(f1(a1,a2,...an,\/,/\)<->f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\))
<=>
(f1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)<->f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/) )
以上的意思是
(f1(a1,a2,...an,\/,/\)<->f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\))<->(f1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)<->f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/) )
为永真式
从f1(a1,a2,...an,\/,/\)<=>f2(a1,a2,...an,\/,/\)
可知f1(a1,a2,...an,/\,<=>f2(a1,a2,...an,/\\/)

也是从上面式子推出来的
上面的式子是从de Morgan's laws推出来的

Quasimodo_lory

另外，如果你还想真正想通一下，那么，我再说一下，在一个2^n阶布尔格(当然也可以叫布尔代数)里，将两种运算互换也依然是一个同构的布尔格，但是此时0,1互换了。
cjaizss 发表于 2010-03-10 09:41

你不觉得你这句话和我的意思一样吗？“将两种运算互换”就是将AND OR对换。“但是此时0,1互换了”就是T和F要互换。

那么你在这个假设里，只对换了运算，你有想过0和1对换了吗？
0和1蕴含在A，B，C，D里，否则你的假设如何成立？