帮我看下这个反证法的数理逻辑是正确的吗？

ethantsien

证明：若p成立，则q成立

反证法：

我们假设q为假，所以!q为真

在!q为真的情况下，我们假设某一命题r成立

但是我们能够证明!q->!r

能证明命题为假的话，前提只能是假，也就是!q为假，q为真，与我们的假设q为假之间矛盾，所以假设不成立，所以q为真

ethantsien

cjaizss说的对，说白了，反证法还是用了逆否原理

starwing83

回复 31# ethantsien


    并不是假设r成立，你得先证明r是成立的，然后根据!q证明!r成立。

ethantsien

starwing83 发表于 2012-10-02 15:40
回复 31# ethantsien

你错了，一个命题的真假，都是相对于人的认知的，我现在认知r是对的，所以我只要能推导出!r，就说明前提一定是假的

再讨论下去，要往哲学范畴跑了

starwing83

回复 34# ethantsien


    ………………你清楚啥叫自然推理系统么？一个系统里面，有公理集合，推理规则，如果一个命题能由公理集合开始，经由推理规则产生，才能说这个命题是真的，否则就是假的，不是你认为是真的就是真的，你认为是假的就是假的。

比如说，煤炭是白的，雪是白的，白的东西都是煤炭是你的公理，而古典三段论是你的推理规则，那么“雪是煤炭“就是你的系统的定理，而不是你说他真他就真的，那是唯心主义。

明白了么？所以谈论r是否为真，必须证明，至少从公理角度上证明。就比如证明质数有无穷个，就用到了集合论公理，证明出的结论和公理直接矛盾（这里的公理就是你说的r），所以才能得证。因为r是公理所以r不用证明，但是如果你用到的r不是公理，那就是必须证明的。

cjaizss

ethantsien 发表于 2012-10-02 15:41
你错了，一个命题的真假，都是相对于人的认知的，我现在认知r是对的，所以我只要能推导出!r，就说明前提 ...

no

captivated

晕倒. 又歪楼了。


“逆否原理”，是说一个蕴涵命题(这个蕴涵命题是p->q, 而不是p, 或者q)和其逆否命题是等价命题。这只是属于命题演算的一种等价演绎规则，它只是说：
如果令命题 r <=> p->q, 那么, 如下演绎成立:
r <=> p->q <=> !p<-!q <=> ...
反证法的前提是 r 不成立，
也就是 !r <=> !(p->q) <=> ... 如此演绎下去, 然后...

反证法的依据是, 命题r不能既成立又不成立，反证法的最终依据是矛盾律。

而判断一个命题究竟是否成立，和命题演算一点关系都没有。
也就是说，判断命题是否成立是对命题赋值。
通过对 p 或者 q 赋值， 就得到了命题 r 的值。而对命题赋值是由证明人所使用的附加步骤，只不过一般来说证明人从公理系统出发来为命题赋值。就是说赋值和命题等价无关，赋值也和命题演绎无关，因为无论怎么赋值，命题等价关系都成立。更进一步说，公理系统是赋值的依据，而不是命题等价的依据。命题等价是"The Law of Thought."

把某个命题等价规则说成是反证法的依据，是绝对错误的。它只是可能的演绎步骤。

发证法的出发点是，假设 r 不成立, 然后开始通过命题等价演绎, 直到演绎到某一步, 这时证明人能够比较容易地对命题表达式中的命题赋值了(也就是证明人能够一眼明确表达式中的所有命题成立与否了)，然后得出的结果却是 r 成立。于是，根据矛盾律，这个原来的假设前提 r 不成立矛盾，由此 r 成立得证。

captivated

回复 30# cjaizss


    呃. 之前说是一定是矛盾律而不是排中律。

    这里对斑竹的说法表示下，是我错了。对于这个(反证法)来说，应该排中律和矛盾律都对。

    排中律是说，不能同假，必有一真。矛盾律是说，不能同真，必有一假。

   

ethantsien

starwing83 发表于 2012-10-02 16:42
回复 34# ethantsien

你误解我的意思了，我认知r为对，并不是说它有悖于公理系统，我的认知基于人类的认知，我不可能假设一个有悖于公理系统的r成立，我意思是r不用证明，针对你说的“我假设r成立，我一定要先证明r成立”，

比如我假设r为偶数成立，但是我通过!q推出了r为奇数，所以!q为假，q为正

starwing83

回复 39# ethantsien


    啊，我懂了。你说的对，这的确是反证法的一种很重要的方式，也是通常的方式。

本质上就是添加一个新的前提进行推理，然后推理出这个前提的反面。的确这是一种方法。

所谓反证，说白了就是假设结论为假，推理出矛盾的地方，所谓矛盾，和公理系统矛盾、和定理矛盾以及和前提矛盾都是可行的。是这样。