给大家出道题

cjaizss

我记得这是我们当初学理论力学的时候的考题
用能量守衡来做，微积分为工具

[ 本帖最后由 cjaizss 于 2006-2-8 12:55 编辑 ]

soul_of_moon

原帖由 ArXoR 于 2006-2-8 12:44 发表
设与水平夹角a,有

mgsin(a)=mv^2/r
mgr(1-sin(a))=mv^2/2

sin(a)=2/3

你能保证在45度前不脱离么?

是

yovn

原帖由 cjaizss 于 2006-2-8 12:54 发表
我记得这是我们当初学理论力学的时候的考题
用能量守衡来做，微积分为工具

呵呵,,巧合,,这道题是我自己觉得有趣想去的,当时学微积分但是没能积出来,但是用计算机程序却能大致算出来.

ArXoR

原帖由 soul_of_moon 于 2006-2-8 13:00 发表

是

how?
45度前速度多大都不会脱离?^_^

cjaizss

哦，题目不一样，我们是一个刚体球（还是刚体柱，我忘记了），从斜面上滚下来
你这道题目有可能逃逸轨道，不过到底会不会逃逸轨道，需要计算。

soul_of_moon

高中是参考钟摆来做的，可以套用那个公式

yovn

原帖由 soul_of_moon 于 2006-2-8 12:29 发表
45度是这么出来的：球在不脱离球面前，速度是沿球面切线方向的，当求到45度时，水平和垂直方向的分速度是相等的，去接下来一段微小的球面，它的水平分距离要小于垂直分距离，而水平速度=垂直速度，故而脱离

前面算错了一点,角度应该是:
你说的垂直速度是没有的,沿球面垂直方向一直(知道脱离)没有速度.
而我说的72度是小球与大球球心连线与垂直方向的夹角,设该夹角为x,
1)1/2*m*v^2=mgr(1-cosx)==>v^2=2gr-2grcosx
又支持力为0的时候:
2)mgcosx=mv^2/r
联合1),2)
cosx=2/3
x为48.18968510422141度.也就是ArXoR兄的90-48.18968510422141=41.81031489577859度,在45度前已经脱离.

[ 本帖最后由 yovn 于 2006-2-8 13:22 编辑 ]

ArXoR

原帖由 soul_of_moon 于 2006-2-8 13:13 发表
高中是参考钟摆来做的，可以套用那个公式

那个是角度小于5度时才能适用(要求不高时)的近似公式吧....

楼主的问题不知道能不能求出解析解呢,感觉只能数值解呐-_-......数分太久不碰了......

(发帖速度太慢了......老回乱帖子)

[ 本帖最后由 ArXoR 于 2006-2-8 13:22 编辑 ]

yovn

考虑积分的思路:
1.s/v=t==>1/v*s=t,得出1/v关于s的函数1/v=f(s).
2.从而s/v=f(s)*s.这样就转化为对s积分的问题$f(s)ds...这里$表示积分符号.
3,很显然积分的下限从0开始,又根据cosx=2/3求出积分的下限.
4,根据积分定义列出算法,最后求解!!

ArXoR

原帖由 yovn 于 2006-2-8 13:19 发表
前面算错了一点,角度应该是:
你说的垂直速度是没有的,沿球面垂直方向一直(知道脱离)没有速度.
而我说的72度是小球与大球球心连线与垂直方向的夹角,设该夹角为x,
1)1/2*m*v^2=mgr(1-cosx)==>v^2=2gr-2gr ...

^_^
我指的那个45度前是指与水平夹角90度到45度前,看计算实际上是在这之后脱离的

我说这个只是为了指出soul-_of_moon兄的分析方法是不对的
就像用绳子绑住石头甩圈,按soul-_of_moon兄的分析方法岂不根本不能实现?