一道关于蜗牛爬绳子的题目。

water_wf

应该有解        蜗牛位置      绳长度             比率

第一天早上      0                     1000      
         晚上      1                     1000              1/1000   
第二天早上      1+1                 2000
        晚上       1+1+1              2000           3/2000
第三天早上      1+1+1 + (1+1+1)*1/3   3000
        晚上       5                       3000          5/3000
应该可以追得上

cugb_cat

是一个递归问题，递归方程是：f(x)=[f(x-1)+1]*2，f(1)=2，可以写程序计算，当结果等于1000*(x+1)时，计算完毕，此时x的值即为结果。

water_wf

要知道每次延伸的距离不一样的只有第一个是*2  后面都因该是个比率

cugb_cat

原帖由 water_wf 于 2007-10-6 14:31 发表
要知道每次延伸的距离不一样的只有第一个是*2  后面都因该是个比率

恩，考虑漏了，再想想

cugb_cat

改一下，改为f(x)=[f(x-1)+1]*(1/x + 1)，f(1)=2

ypxing

17楼的想法跟我在8楼的想法是一样的,
解是x=e^1000天

sanbiangongzi

原帖由 金刚钻 于 2007-10-6 13:40 发表
17楼的方程没有解，那也就是爬不到了

如何无解？
1/1000 ,1/2000 ,1/((n-1)*1000) , 1/(n*1000)
是一个不收敛的数列，其和并无极限

hhh6897

均匀拉长，就是说蜗牛不动，但是蜗牛距离它爬行的开始段距离也会变长！

Vinge

我们以没天的早上起来看前天的结果吧：
蜗牛走过的距离f(1)=2  绳子长 l(1)=2000

f(1)=2
l(1)=2000

f(n)=(f(n-1)+1)*(1+1000/l(n-1))
l(n)=1000+1000*n

f(n)=(f(n-1)+1)*(1+1000/1000*n)
f(n)=(f(n-1)+1)*(1+1/n)
f(n)=(f(n-1)+1)*(n+1)/n

当 n增大 (n+1）/n崔近于1,蜗牛走到某个固定的比例处就无法继续前进了。

2eye

1. 
   
2. #include <stdio.h>
   
3. 
   
4. #define CHGLONG        1000.0
   
5. 
   
6. int main()
   
7. {
   
8.         int day = 1;
   
9.         double shengchang = 2000;
   
10.         double woniu_pos = 2.0;                //蜗牛第day天绳子拉长后所在的位置。
    
11. 
    
12.         while( woniu_pos < shengchang )
    
13.         {
    
14.                 woniu_pos++;                //爬1米
    
15.                 day++;                        //过去1天
    
16.                 shengchang += CHGLONG;        //拉长绳子
    
17.                 // 第n天拉长後后，绳子变化率位 n/n-1;
    
18.                 woniu_pos *= ( day / day - 1);                //拉长绳子后调整蜗牛所在位置
    
19.         }
    
20.         printf("%i", day);
    
21.         return 0;
    
22. }
    

复制代码

这是我解决这个问题所写的代码，经过运行观察，这是一个死循环，就是说永远不会有爬到头的一天。
蜗牛第n天所在的位置可有一个递推的公式给出，

f(n) = (f(n-1) + 1) * (n / (n-1))    n>=2
f(1) = 2                    //因为爬一米后，拉伸1倍，相当于爬2米。         

而绳第n天长为： 1000(n+1)

n越趋近于无穷大， n/n-1越趋近於1

结论： 蜗牛不能爬到终点。

不知谁能给出一个严格的证明 f(n) < 1000(n+1)