- 论坛徽章:
- 0
|
上世纪40年代伟大的数学家R.科朗曾经用一本书来讲述数学是什么。专业的数学对一般人来讲似乎过于艰深和抽象。在现今的教育制度下，甚至在西方实用主义的冲击下，我国的大学生基本是用数学来应付高考和考研，对数学的趣味性本身几乎无从体会。高等数学成为大学挂科率最高的科目之一。然而有的数学家却指出数学是人类每个成员应该精通的科目。数学带领着人类的科学进步，数学围绕着我们工作的方方面面。工程中离不开微积分思想和代数知识。材料力学和理论力学原理都用微分的形式来表示，计算复杂面积和体积都要用到积分。做力学分析和计算机图形学还要用到微分几何和线性代数。做优化还要用到线性代数及概率算法。管理科学的运筹学也是以优化理论为基础。
数学大概可以按连续数学和离散数学来分类。连续数学以微积分思想为基础的连续分析为中心，离散数学以发展代数学工具为中心。
代数学是一切数学的基础和工具。代数学以古典的方程理论发展起来，形成现代数学的基础群论、模形式理论、范畴论、代数结构等。近世代数基本上都以群论为基础。群论来自于对代数方程的解决问题。19世纪以前的代数研究基本上以解一元高次方程为中心。然而人们经过几百年的努力通过配方法只找到了4次及以下次数方程的一般代数解法。然而对5次及其以上的一元高次方程却束手无策。19世纪的天才阿贝尔和伽罗瓦十几岁就对高次方程的解产生了兴趣，经过研究他们认为5次以上的一般一元高次方程没有像我们熟悉的一元二次方程的求根公式（其实质就是不能配出方来，被称作无代数解，归结为几何问题就是不能用尺规法作出某一般5边以上的图形，经证明通过变换，某次方程有代数解意味着可以用古典尺规法作出某边数的任意多边形），当然需要注意的是对一般方程不能并不意味着特殊方程不行。当时的数学家高斯和拉格朗日都意识到了5次以上的一般一元高次方程可能没有代数解。当时年轻的挪威数学家阿贝尔对此作出了不完整的证明，但未得到数学家们的重视，并在27岁就死去。而后来者同样年轻的法国数学家伽罗瓦创立了“群论”彻底证明了这一困扰世界几百年的问题，他当时只有20来岁，把论文寄给天才数学家高斯，高斯认为完全看不懂而未加重视，而当时正置法国大革命，伽罗瓦属于革命分子，在21岁就在一次决斗中死去。伽罗瓦在死前一晚上用 32页纸潦草的写下他的理论交给一个朋友。直到他死后14年他的手稿才落入数学家刘维尔手中，刘维尔对伽罗瓦的手稿进行了仔细阅读并整理成群论，从此世界数学家对群论发起了热情的研究，人们发现群论是一种有力的思想和工具，通过它可以容易的解决很多困难问题。群论是现代代数学的基础，但它是如此的高深以至于武汉大学搞微积分出身的校长公开表示他自己也不懂群论。当然，群论发展到后来不仅用于解决一元高次方程的问题。最初用于解高次方程的群论基本上可以认为是置换的思想，可代数解的方程的解群（解空间或者叫解集合）是个置换群。每个高次方程都对应一个解集或叫解群，解这个高次方程的问题转化为研究这个群的性质（是否可置换）。以二次方程为例ax^2+bx+c=0，它的解为x1、x2，把x1，x2当作两个未知数，只要找到含两个方程的线性方程组就可以求得 x1和x2，由线性代数知识和组合知识知道，x1、x2的线性方程无非就是x1+x2=？x1-x2=？而我们知道这样的方程组总是可解的。群论认为对加法和乘法运算而言x1+x2、x1*x2是可置换的多项式并且对本方程来说这两个是最基本的置换多项式，而x1-x2是不可置换的多项式，但（x1- x2）^2是可置换的，其他置换多项式可以由最基本的求出。我们自然就会想到把x1和x2分别代入原始的二次方程，得到a x1^2+b x1+c=0,a x2^2+b x2+c=0，把两个方程相减可消去c，立即可以降次（因为由二项式定理可知x^n-y^n形式的多项式总可以分解为(x-y)(某多项式）的形式，所以做减法肯定可以去掉常数项并除掉x-y），并得到x1+x2=-b/a，这是我们高中解二次方程后常常要验证的结果之一；再把两个方程相加，并把刚刚得到的结果代入方程可求得x1*x2=c/a。再求x1-x2就容易了，（x1-x2）^2=(x1+x2)^2-4x1*x2。这就得到了我们高中常用的求根公式。为什么这么麻烦呢。因为这种方法总能找到一般方程的解的形式，且不只是代数解形式，二次方程的配方方法在公元前就被中国和希腊人找出，而一般3次方程4次方程花了世界聪明人几百年的技巧在16、17世纪才配出来。而根据群论，证明5次以上的一般方程是配不出多项式相乘的形式的。而谈到这里，并没有谈到群论解方程的本质问题。置换多项式利用了根的对称性，对特定方程而言，根据排列组合，方程对应的置换多项式只有那么几个，而最基本的是x1+x2 +...+xn和x1*x2*...*xn的形式，随着方程次数的增高，越难于组合出n个线性方程出来，通过严格证明，对5次以上“一般方程”，完全不可能组合出那么多线性方程来求根。
数论研究数的本质。数论研究自然数，可以说是最自然的数学，某数学家说上帝创造了自然数，其他的数才是人类发明的。数论被认为是纯数学，也就是说离实际应用太远。然而几百年前的数论结果在几百年后似乎得到广泛应用。现代密码学以数论为基础。共钥密码体系以大数的质因数分解为基础。欧几里德时代就证明了自然数中的质数是无穷的，而随着数的增大，质数的个数越来越少，与总的自然数个数相比无限趋向于零，但总不为零。可以用反证法证明：一系列质数相乘加1总是一个质数，所以我们可以很容易的构造任意大小的质数。但要证明某个数是质数是困难的，分解某个大数为质因数更加困难，上百位的数用最快的算法和目前最快的计算机分解质因数几乎要算上很多年。现代数论研究也涉及到无理数的研究。无理数本质上是个无穷级数，例如圆周率Л可表示为三角级数，但并不是唯一的表示法，不同的表示法的计算效率差别很大，我国古代数学家祖冲之通过计算上千多边形把Л的精度确定到3.1415926-3.1415927之间，在当时领先世界前年。现代印度天才的数学家拉马努金对Л也研究了一下，得出一个奇怪的级数表示，级数的第一项就使Л的精度达到8位，这大大减少了计算量。拉马努金是出生在印度的穷苦天才数学家，由于对数学的兴趣和痴迷他没有通过正规大学教育，靠读了一本写有很少证明的定理手册研究数学，在读书中他通过灵感发明新的定理几千条并作了笔记，他不懂证明也很少了解其他书，以至于他的一些定理是先前一些数学家发现的，他是一位高产的数学家，在英国留学期间他平均每天发现6个新定理，是当时的权威数学家哈代发现他的天才并把他弄到英国，哈代也是我国数学家华罗庚的导师，哈代对拉马努金很推崇，他给数学家的天分打分，给拉马努金 100分，给他自己25分，给当时的希尔伯特85分，他认为拉马努金的天才可以和欧拉和雅可比相比甚至更高，这些年印度也因为有了拉马努金这个世界级天才数学家而光荣，但拉马努金由于疾病和战争，33岁就去世了，给世人留下了几本为加证明的定理，一个美国数学家从70年代开始致力于拉马努金全部定理的证明并于近期完成，他的结论是拉马努金的定理基本上都是对的，只有个别有缺陷的地方，这位数学家因为这项工作而获得菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖）。现代数论届也一度掀起拉马努金热，对拉马努金的某定理的证明足以在权威杂志发表论文。对费马猜想的证明花费了人类智者300多年的时间，于1994年才得以解决。费马猜想本身是一个简单的方程式。x^n+y^n=z^n当n大于3时没有自然数解，当n=2时就是著名的勾股定理有无穷的解。这个问题证明的难度完全超乎人们先前的想象。为了证明这个定理，数学家发明了很多工具，群论，模型式理论通通都用上了。这个定理最后被美国数学家怀尔斯证明，证明足有100多页。不妨这样来理解这个定理。
世界数学的中心。在中国、印度研究数学的时候，欧洲的数学也不发达。后来希腊数学家形成一个学派，系统地对数学进行研究，逐渐把数学发展成为一门学科，系统的研究数学的是欧几里德，著有《几何原本》我们中学初等数学基本上就在这部书的范围之内。几个世纪之后，随着产业革命的发展。世界的数学中心转移到英国，以牛顿为代表的数学家发展了微积分的思想，开辟了分析数学的领域。随后19世纪世界的数学中心转移到德国，以哥廷根大学为中心，以高斯等天才数学家为代表人物，以数论为重心发展研究各个数学分支，值得一提的是高斯在24岁就著了《算数研究》，奠定了近世高等代数的基础。现代数学的中心转入美国。 20世纪标志着现代数学的开始，数学发展成了种类繁多的分支，但大体以群论为基础的高等代数、逻辑代数、范畴论、图论、组合论等，另外代数几何交叉形成了微分几何、拓扑学。这些数学在近几十年随着计算机的发展又增加了新的生命力。通过历史表明，世界数学中心基本上随着经济的发展而转移，一般而言，数学最发达的国家是最强盛的。下一个数学中心在哪里呢，希望是我们中国。
[ 本帖最后由 mlmyf 于 2007-1-24 16:33 编辑 ] |
|
免费注册
发表于 2007-01-24 15:24
发表于 2007-01-25 14:54
