[原创]数学是什么

cjaizss

正好说到数学，又说到了抽象代数，说到了Galois和Abel,我就转一贴偶前几个月在清茶写的东西吧

昨天问lp,Abel是怎么死的。lp说，还能怎么死的，病死的呗。哦，记起了，Abel是病死的，家徒四壁，债台高筑，在这样的情况下病死。这让我不得不想起另外一个牛人Galois。于是写点什么吗？写点吧。
   这两个人有相似的处境，共同的研究，相同的年代，而且都是短命鬼，同样的背。
    按理说，Abel好歹比Galois好一点，怎么说也是一名大学生。Abel（1802-1829）,出生于挪威一个贫穷的家庭，一生体弱多病,十几岁的时候在一个数学老师的教导下开始去读数学著作，后来也是这个数学老师的资助下终于可以读大学。
   1824年，Abel证明了一元五次方程无根式解。而这个问题是当时一个很难的问题，当时那些大数学家如Gauss,Fourier,Cauthy都无法解决。满怀信心的他要自己掏钱把自己的论文印刷出来，可是当时如此贫困的他根本付不出高额的印刷费，于是Abel精简论文，终于用6页纸（或许是5页）印刷了他的论文。Abel把自己的论文寄给了牛人Gauss，而Guass收到论文后，6页纸的论文在他看来根本干不了任何事情，于是根本没看，直接扔在一旁。Abel被埋没了，他终生的愿望是当一个大学的讲师，可是到他死的时候27岁，此愿望没有实现，还欠下一屁股债。他的成果还有对椭圆函数的研究。
    再来说Galois（1811-1832），这个数学天才是个激进分子，作为革命党，曾锒铛入狱。17岁报考某著名大学，因为口舌很笨，被砍。第二年依然如此。18岁的时候用证明了一元五次方程不可解，关键在于他用了一个前所未有的工具，他自己开创的，后人把这个叫抽象代数，Galois主要是群论和部分域论，当然这是后话。
    写不下去了，下去抽支烟。
    .......
    Galois把自己的论文寄给了Cauthy和Fourier两位大牛，可是这两个大数学家根本没把他的论文当回事，不过说实在的，Cauthy是看过了，但是评价是“写的什么东西，措辞不通，难懂”，这归结于Galois糟糕的表达能力。事后，Cauthy把这件事情当成一个饭后笑料。21岁那年，Galois认识了一个姑娘，于是得罪了一位贵族。贵族提出决斗,Galois应承了。在决斗前夕，Galois预计自己可能糟不测，于是把自己以前的东西做了整理，并又写了60页的论文，交给了自己的好友。
    黑暗总是有的，贵族用一种不光彩的手段(Galois的枪有问题)在决斗中打伤Galois。Galois重伤回到家中，当天就死了。
    他们就这么被埋没了，他们的成果都是在几十年后被人发现有价值。Galois的成果是被一个二流数学家发现的，他发现Galois研究的领域居然如此之深，深为震惊。可是那大概是Galois死了快50年了。
    可谓天妒英才啊。历史上死了几十年后被人发现成果很伟大的数学家又何止Abel和Galois，相比之下，Gauss,Cauthy，Fourier这三位埋没Abel和Galois的是何等幸运。Riemann也算是比较幸运的，死后总算被评为了副教授......
    Galois的生日和祭日我都记得，为了纪念他以及Abell对抽象代数学的伟大功绩，我还是经常思考一些抽象代数的问题，算是祭奠这两位对抽象代数学有伟大功绩的数学牛人，也好，生前无声无息，死后总算有很多很多人记得他们，供奉Galois为抽代老祖宗。
    或许在抽象代数学上我这一生也做不了任何东西，也试图创立研究抽象代数的方法，可是都是失败，我没有大师那样的脑袋。但是无论如何，这是业余爱好，至少我衣食无忧......

shan_ghost

原帖由 shan_ghost 于 2007-2-9 13:45 发表
1、一系列质数相乘加1总是一个质数：这个似乎不正确吧？
质数首先是奇数，奇数相乘结果仍然是奇数。再加个奇数就成了偶数：偶数怎么可能是质数？

终于找到正确的证明了：

假定素数的集合是有限的，设p是最大的素数。把这个素数集合成倍扩大，并调用结果P = 2 * 3 * ... * p。整数(P + 1)不可能有一个素因数q £ p。因为我们知道q可以整除P，如果q也可以整除(P + 1)，那么就可以整除(P + 1) - P = 1，可以整除1的数只有一个那就是1，1不是素数，所以q大于p。如此则与假设矛盾，所以素数集合是无限的。


俺把它说的更清楚一点：

假设最大的素数存在，并且是7，那么，用所有素数构造一个数P = 2 × 3 × 5  × 7 = 210
那么，对(P+1)分解质因数，里面一定有一个质因数q是不属于“小于等于7的所有素数构成的集合”的。

原因是： 这个q既然是P的质因数，那么它就一定可以整除P[即210]；但如果它同时又必须是(P+1)的质因数（因为P是由所有素数构成的），所以它也可以整除(P+1)[即211]。
而想要满足上述两个整除条件，那么它就必须能整除 (P+1)-P，也就是1。

可以整除1的数只有1，所以q一定不属于小于p的所有素数的集合。既然素数q大于假设的最大素数p，这就与假设矛盾，所以素数集合一定是无限的。

——注意上面并没有真正使用列出的具体数值，所以这个结论是普适的。


这个证明是非正式的，大概是因为它使用了“能同时整除两个整数A和B的数q，也必定能够整除A和B的差”这个结论而未加证明吧。

cjaizss

原帖由 shan_ghost 于 2009-1-8 13:44 发表


终于找到正确的证明了：

假定素数的集合是有限的，设p是最大的素数。把这个素数集合成倍扩大，并调用结果P = 2 * 3 * ... * p。整数(P + 1)不可能有一个素因数q £ p。因为我们知道q可以整除P，如果 ...

这个证明是经典的证明,几千年前的证明,很美,怎么说是非正式的呢?
"能同时整除两个整数A和B的数q，也必定能够整除A和B的差",对于这个命题,它并未用到.
再者,这个命题是假命题
35可以整除5和7,但却不能整除2

cjaizss

原来证明是:
假设质数是有限多个,假设为a1,a2,a3....an
对于整数b=a1*....an + 1,
则b大于任意质数
如果b是合数,则它在a1....an中至少有一个约数,但它没有,所以不是合数
如果b是质数,则b应该是a1....an中的一元,可是它大于a1....an中的每一个数,所以不是质数
所以矛盾
所以假设错误

cjaizss

至于从2开始相邻的质数相乘加1是否是质数:
2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509

shan_ghost

原帖由 cjaizss 于 2009-1-8 13:57 发表

这个证明是经典的证明,几千年前的证明,很美,怎么说是非正式的呢?
"能同时整除两个整数A和B的数q，也必定能够整除A和B的差",对于这个命题,它并未用到.
再者,这个命题是假命题
35可以整除5和7,但却不能整除2

说它非正式，是这里下的结论：
http://book.csdn.net/bookfiles/884/10088427859.shtml

另外，现代数学认可的证明，必须是形式化逻辑方式，以免引入人为漏洞：
http://www.oursci.org/magazine/200209/020912.htm

“能同时整除两个整数A和B的数q，也必定能够整除A和B的差”可能是我没说清楚，我的意思是：
A MOD q =  B MOD q = (A-B) MOD q = 0
这个东西不是写出来、验证几次无误就算的，同样要用形式化逻辑证明。

非诚勿扰123

数学是人类编制的一种专用于近似量化自然界的语言。

[ 本帖最后由 非诚勿扰123 于 2009-1-8 14:44 编辑 ]

shan_ghost

如果b是合数,则它在a1....an中至少有一个约数,但它没有,所以不是合数

这句话不能随便说……所以必须有证明……

这句话隐含引用的东西是： 如果q是b的约数，那么它就不能是b+1的约数

而上面这个结论的证明，就是 如果 q同时是b和b+1的约数，那么它就必须能整除b+1-b
这个数只能是1，所以得证。


但，这时候“如果 q同时是b和b+1的约数，那么它就必须能整除b+1-b”本身还没有被证明。

——————
其实很多时候，证明一样东西不难；难的是证明“基本”的东西时，要鉴别出哪些东西是不能用的，以免不知不觉引入额外的假设，甚至是陷入循环论证的陷阱。

PS： 我很讨厌形式化数学，太难懂了，一点都不直观。
但是，不引入这个约束，如上所见，我们很容易在证明时直接引用很多未加证明的“常识”，这就可能导致证明的正确性无法保证。

[ 本帖最后由 shan_ghost 于 2009-1-8 14:53 编辑 ]

非诚勿扰123

原帖由 非诚勿扰123 于 2009-1-8 14:35 发表
数学是人类编制的一种专用于近似量化自然界的语言。

由于数学的近似性、不确定性、不可靠性，所以我一直很少抽时间去搭理它。

[ 本帖最后由 非诚勿扰123 于 2009-1-8 15:06 编辑 ]

cjaizss

晕死,还要我明说吗?
合数可以分解成质数的乘积,这是先质数无穷的定理